相关性与偏相关性在fMRI功能脑网络构建中的区别及实现

相关性与偏相关性的区别

相关性（Correlation）

相关性（Correlation）是一种衡量两个变量之间线性关系的统计方法。最常见的相关系数是皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient），其取值范围在-1到1之间：

• 1 表示完全正相关（两个变量完全同向变化）。
• -1 表示完全负相关（两个变量完全反向变化）。
• 0 表示没有线性关系。

计算公式为：

$$r=\frac{\sum (X-\bar{X})(Y-\bar{Y})}{\sqrt{\sum (X-\bar{X}{)}^2\sum (Y-\bar{Y}{)}^2}}$$

这里，(X) 和 (Y) 是两个变量，(\bar{X}) 和 (\bar{Y}) 是它们的均值。

偏相关性（Partial Correlation）

偏相关性（Partial correlation）是在控制住一个或多个其他变量的情况下，衡量两个变量之间线性关系的统计方法。计算公式为：

$$r_{XY\cdot Z}=\frac{r_{XY}-r_{XZ}\cdot r_{YZ}}{\sqrt{(1-r_{XZ}^2)(1-r_{YZ}^2)}}$$

这里，(r_{XY}) 是 (X) 和 (Y) 之间的皮尔逊相关系数，(r_{XZ}) 是 (X) 和 (Z) 之间的皮尔逊相关系数，(r_{YZ}) 是 (Y) 和 (Z) 之间的皮尔逊相关系数。

主要区别

1. 控制变量：

   • 相关性仅衡量两个变量之间的直接关系，不考虑其他变量的影响。
   • 偏相关性在计算两个变量关系时，会控制住其他变量的影响，从而更准确地反映它们之间的直接关系。

2. 适用场景：

   • 相关性适用于简单的关系分析。
   • 偏相关性适用于复杂的系统中，需要控制其他变量影响时的关系分析。

在fMRI功能脑网络构建中的应用

使用相关性构建功能脑网络

使用相关性构建功能脑网络的方法主要关注在没有控制其他变量的情况下，两个脑区之间的时间信号的线性关系。计算每对脑区时间序列之间的皮尔逊相关系数。

特点和影响：

1. 简单直接：计算相对简单，容易理解和实现。
2. 全局信息：相关性捕捉了整个系统中所有脑区之间的总的、直接和间接的关系。
3. 冗余信息：由于没有控制其他脑区的影响，相关性度量包括了直接和间接连接。这可能会引入冗余的信息，使得网络图更加密集，连接更多。
4. 全局性：适用于探讨全局功能整合和脑区间的协同活动。

使用偏相关性构建功能脑网络

使用偏相关性构建功能脑网络的方法通过控制其他脑区的影响，测量两个脑区之间的直接关系。

特点和影响：

1. 直接关系：更能反映脑区之间的直接连接，排除了其他脑区的干扰。
2. 稀疏性：偏相关网络通常更加稀疏，因为它排除了许多间接连接，只保留了直接相关的连接。这有助于减少冗余，突出关键的功能连接。
3. 复杂性：计算偏相关系数需要考虑整个系统的协方差矩阵，计算复杂度较高，尤其是在处理高维数据（如fMRI数据）时。
4. 局部性：更适合于揭示局部的功能模块和直接的功能通路。

实际应用中的选择

• 研究目标：如果研究的目的是探讨整体脑网络的功能整合和全局性特征，使用相关性构建的网络可能更合适。如果研究的目的是识别直接的功能连接和局部的功能模块，偏相关性可能更有用。
• 数据特性：对于数据量较大且噪音较多的情况，偏相关性可能提供更可靠的结果，因为它能够排除不相关的影响。
• 计算资源：由于偏相关性计算复杂度较高，可能需要更多的计算资源和时间。

在Python中计算fMRI数据的相关性和偏相关性

计算相关性

我们可以使用numpy中的corrcoef函数来计算相关性矩阵：

import numpy as np

# 示例fMRI数据，假设每列是一个时间序列，每行是一个时间点
# 这里生成一些随机数据来演示
np.random.seed(42)
num_timepoints = 100
num_regions = 10
data = np.random.rand(num_timepoints, num_regions)

# 计算相关性矩阵
correlation_matrix = np.corrcoef(data, rowvar=False)

print("相关性矩阵：")
print(correlation_matrix)

计算偏相关性

偏相关性可以使用statsmodels库中的GraphLasso或者inv和dot等函数来实现：

import numpy as np
from sklearn.covariance import GraphicalLasso

# 示例fMRI数据，假设每列是一个时间序列，每行是一个时间点
# 这里生成一些随机数据来演示
np.random.seed(42)
num_timepoints = 100
num_regions = 10
data = np.random.rand(num_timepoints, num_regions)

# 计算协方差矩阵
cov_matrix = np.cov(data, rowvar=False)

# 使用 GraphicalLasso 计算精度矩阵（precision matrix，即协方差矩阵的逆）
model = GraphicalLasso(alpha=0.01)
model.fit(data)
precision_matrix = model.precision_

# 将精度矩阵转化为偏相关性矩阵
d = np.diag(precision_matrix)
partial_corr_matrix = -precision_matrix / np.sqrt(np.outer(d, d))
np.fill_diagonal(partial_corr_matrix, 1)

print("偏相关性矩阵：")
print(partial_corr_matrix)

解释代码

1. 相关性计算：

   • 使用numpy.corrcoef函数计算数据矩阵的相关性矩阵。这里假设data矩阵的每一列是一个时间序列（不同脑区的时间序列）。

2. 偏相关性计算：

   • 使用GraphicalLasso算法估计数据的精度矩阵。精度矩阵是协方差矩阵的逆，代表每对变量在控制住其他变量后的线性关系。
   • 将精度矩阵转化为偏相关性矩阵。偏相关性矩阵中的每个元素表示在控制住其他变量的情况下，两个变量之间的直接线性关系。