量子感知机 - 悦读

神经网络类似于人类大脑，是模拟生物神经网络进行信息处理的一种数学模型。它能解决分类、回归等问题，是机器学习的重要组成部分。量子神经网络是将量子理论与神经网络相结合而产生的一种新型计算模式。1995年美国路易斯安那州立大学KAK教授首次提出了量子神经计算的概念，开创了该领域的先河。随后又相继出现了多种量子神经计算模型，包括量子感知机、量子神经网络、量子受限玻尔兹曼机等。近年来，量子生成对抗网络、量子卷积神经网络等量子机器学习模型。

量子感知机算法，这与经典感知机的方法类似，在量子感知机中，规定输入样本 $x_{i}$ 和权重系数w的元素只能为 $+-$ 1。经典感知机中通过激活函数的输出判断输入样本是否被正确分类。而在量子算法中通过阈值 $\Theta$ 将式写为

$y_{i}=\left\{\begin{matrix} 0, & |\sum_{j=0}^{M-1}\omega _{j}x_{ji} |\geq \Theta\\ 1, & |\sum_{j=0}^{M-1}\omega _{j}x_{ji} |\leq \Theta\\ \end{matrix}\right.$ (1)

1. $|\sum_{j=0}^{M-1}\omega _{j}x_{ji} |$ 的计算方法

$|\sum_{j=0}^{M-1}\omega _{j}x_{ji} |=|x_{i}^{T}\omega |$ ，即 $x_{i}$ 和 $\omega$ 的内积的模。在量子计算中，样本信息 $x_{i}$ 和权重系数 $\omega$ 存储在量子态中，归一化之后， $x_{i}$ 和 $\omega$ 的量子态形式为

$|x_{i}\rangle =\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{j=0}^{M-1}x_{ji} |j\rangle$ (2)

$|w\rangle =\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{j=0}^{M-1}w_{j} |j\rangle$ (3)

这里系数取 $\frac{1}{\sqrt{M}}$ 是因为量子算法中 $x_{i}$ 和 $\omega$ 内积的模为 $\frac{1}{M}|\sum_{j=0}^{M-1}\omega _{j}x_{ji} |$ 。

假设存在酉算子 $U_{x_{i}}$ 和 $U_{w}$ 能够完成如下变换：

$U_{x_{i}}|0\rangle^{\bigotimes }=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{j=0}^{M-1}x_{ji} |j\rangle=|\Psi _{1i}\rangle$ (4)

$U_{x_{i}}|1\rangle^{\bigotimes }=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{j=0}^{M-1}w_{i} |j\rangle=|\Psi _{2}\rangle$ (5)

式子中： m=logM 。

则有 $U^{-1}_{x_{i}}|\Psi _{2}\rangle=|1\rangle^{\bigotimes M }$ ，将 $|1\rangle^{\bigotimes M }$ 写成十进制的形式有， $U^{-1}_{x_{i}}|\Psi _{2}\rangle=|M-1\rangle$ 。

首先制备初态 $|0\rangle^{\bigotimes (m+1) }$ ，其中前m个量子比特用于存储输入样本向量 $x_{i}$ 和权重 $\omega$ ，最后一位是辅助量子比特，用于存储最终结果。

第一步：使用酉算子 $U_{x_{i}}$ 作用于前m个量子比特 $|0\rangle^{\bigotimes m }$ ，得到量子态

$|\Psi _{1i}\rangle=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{j=0}^{M-1}x_{ji} |j\rangle$ (6)

第二步：使用 $U_{w}^{-1}$ 作用于 $|\Psi _{1i}\rangle$ 得到量子态

$|\Psi _{3\rangle=}U^{-1}_{x_{i}}|\Psi _{1i}\rangle=\sum_{j=0}^{M-1}c_{j} |j\rangle$ (7)

式子中： $\sum_{j=0}^{M-1}c_{j}^{2}=1$

则 $\langle \Psi _{1i}|\Psi _{2}\rangle=\langle \Psi _{1i}|U_{w}U_{w}^{-1}|\Psi _{2}\rangle=\langle \Psi _{3}|M-1\rangle=c_{M-1}$ (8)

#量子感知机
from qiskit import QuantumCircuit, ClassicalRegister, QuantumRegister, transpile
from qiskit_aer import Aer
import numpy as np
from qiskit.visualization import plot_histogram

from math import pi
from qiskit.visualization import plot_histogram

circuit = QuantumCircuit(5,5)
#两控制位的受控z门
def ccz():
    circuit=QuantumCircuit(2)
    circuit.cz(0,1)
    circuit= circuit.to_gate()
    circuit.name = "ccz"
    c_U = circuit.control()
    return c_U
#两控制位的受控z门（与前一个的控制位不同）
def ccz1():
    circuit=QuantumCircuit(3)
    circuit.cz(0,2)
    circuit= circuit.to_gate()
    circuit.name = "ccz1"
    c_U = circuit.control()
    return c_U
#三控制位的受控z门
def cccz():
    circuit=QuantumCircuit(3)
    circuit.append(ccz(),[0]+[m+1 for m in range(2)])
    circuit= circuit.to_gate()
    circuit.name = "cccz"
    c_U = circuit.control()
    return c_U
#三控制位的受控x门
def cccx():
    circuit=QuantumCircuit(3)
    circuit.ccx(0,1,2)
    circuit= circuit.to_gate()
    circuit.name = "cccx"
    c_U = circuit.control()
    return c_U
#四控制位的受控x门
def ccccx():
    circuit=QuantumCircuit(4)
    circuit.append(cccx(),[0]+[m+1 for m in range(3)])
    circuit= circuit.to_gate()
    circuit.name = "ccccx"
    c_U = circuit.control()
    return c_U
#U_i
for i in range(4):
    circuit.h(i)
for i in range(3):
    circuit.z(i)
circuit.cz(1,2)
circuit.cz(0,2)
circuit.cz(0,1)
circuit.append(ccz(),[0]+[m+1 for m in range(2)])
#U_w
circuit.z(1)
circuit.z(2)
circuit.cz(1,3)
circuit.cz(0,2)
circuit.cz(0,1)
circuit.append(ccz(),[1]+[m+2 for m in range(2)])
circuit.append(ccz1(),[0]+[m+1 for m in range(3)])
circuit.append(cccz(),[0]+[m+1 for m in range(3)])
for i in range(4):
    circuit.h(i)
for i in range(4):
    circuit.x(i)
#将内积提取到辅助量子比特上
circuit.append(ccccx(),[0]+[m+1 for m in range(4)])
circuit.barrier()
circuit.measure(4,4)
circuit.draw(output='mpl', plot_barriers=False)

# Set up the backend
backend = Aer.get_backend('qasm_simulator')
# Transpile the circuit for the simulator
transpiled_circuit = transpile(circuit, backend)
# Run the transpiled circuit
job = backend.run(transpiled_circuit, shots=100000)
sim_result = job.result()
# Get and plot the results
measurement_result = sim_result.get_counts(circuit)
plot_histogram(measurement_result)

1的概率为0.1376，开根号为0.370944，小于0.5，属于 $C_{2}$ 。