助力外骨骼机器人动力学分析

一、动力学分析

二、拉格朗日方程

三、参考文献

一、动力学分析

动力学是考虑引起运动所需要的力，使执行器作用的力矩或施加在操作臂上的外力使操作臂按照这个动力学方程运动。

目前机器人动力学分析中主要采用牛顿-欧拉动力学方程和拉格朗日动力学方程 [1]。
两种方法的理念不同，其中，牛顿-欧拉公式被认为是一种力平衡方法，而拉格朗日公式则是一种基于能量的方法。

本文主要是以拉格朗日方程进行动力学分析，其相应步骤如下：
1.1 人体基本参数[2]

人体基本参数包括：人体各关节质量、质心位置和转动惯量等，本文采用郑秀媛的CT测量法[3-4]，获取中国成年人体下肢各关节相对质量分布及其质心位置。

图 1 人体下肢关节质心位置示意图[2]

表 1 中国成年人体下肢关节相对质量及质心的相对位置[2]

关节	相对质量(%)		相对位置(%)
关节	男性	女性	男性	女性
大腿	28.38	28.20	45.3	44.2
小腿	7.34	8.86	39.3	42.5
足	2.96	2.48	48.6	54.9

(1)、相对质量：通常指的是下肢关节（如髋关节、膝关节、踝关节等）的质量与整个身体质量的比例。
(2)、相对质心位置：指的是下肢关节质心相对于关节本身或者整个肢体的位置。质心位置的测量通常涉及将关节视为一个刚体系统，并确定其质量中心点。

转动惯量的测量方法有三线摆法和CT法。

(1)、三线摆法原理

三线摆法基于摆动的物理原理，通过测量物体在重力作用下的摆动周期来计算其转动惯量。这种方法适用于具有规则几何形状的刚体，特别是当这些物体可以围绕通过其质心的轴自由旋转时。

实验步骤

悬挂样品：将待测物体通过一根线悬挂，确保线不扭曲且垂直于水平面。
激发摆动：轻微推动物体使其绕悬挂轴摆动。
测量周期：记录物体完成多个完整摆动周期所需的时间。通常需要多次测量以提高准确性。
计算转动惯量：使用公式 $I=I_{0}+m\cdot r^{2}$ ，其中 $I_{0}$ 是系统本身的转动惯量（可通过空载实验确定），m 是物体质量，r是悬挂点到质心的距离。

优点

简单易行，不需要复杂的设备。

缺点

受限于悬挂方式和物体形状，可能不适用于所有类型的物体。

(2)、计算转矩（CT）法原理

CT法利用牛顿第二定律的旋转形式，即 $\tau =I\cdot \alpha$ ，其中 $\tau$ 是转矩，是转动惯量， $\alpha$ 是角加速度。通过测量施加的转矩和产生的角加速度，可以计算出转动惯量。

实验步骤

固定物体：将物体固定在能够测量转矩的设备上，例如扭矩台。
施加力：通过施加一个已知的力和力臂来产生转矩。
测量角加速度：使用传感器或高速摄像机等设备测量物体的角加速度。
计算转动惯量：根据测量的转矩和角加速度，使用上述公式计算转动惯量。

优点

精度高，适用于复杂形状和不同材料的物体。
可以在不同的环境和条件下进行。

缺点

需要专业的设备和软件。
实验设置较为复杂。

CT法确定的转动惯量回归方程式为：

$J_{i}=B_{0}+B_{1}X_{1}+B_{2}X_{2}$

其中： $X_{1}$ 表示体重(kg)， $X_{2}$ 表示身高(cm)， $B_{0}$ 、 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 表示回归方程系数，如下表所示：

表 2 回归方程系数

关节关节		惯性系数	$B_{0}$	$B_{1}$	变量名 $X_{1}$	$B_{2}$	变量名 $X_{2}$
男性	大腿	$J_{x}$	-3705.377	4.284	$X_{1}$	28.621	$X_{2}$
		$J_{y}$	-3664.889	5.549		28.078
		$J_{z}$	65.270	7.165		-1.461
	小腿	$J_{x}$	-301.044	2.990		2.012
		$J_{y}$	-299.164	29.30		2.009
		$J_{z}$	-17.776	0.792		-0.033
女性	大腿	$J_{x}$	-1926.934	25.374		10.331
		$J_{y}$	-1622.265	29.200		7.321
		$J_{z}$	197.363	9.548		-3.177
	小腿	$J_{x}$	-621.885	3.578		4.044
		$J_{y}$	-588.609	3.859		3.773
		$J_{z}$	-15.166	0.749		0.00

其中： $J_{x}$ 表示绕额状轴的转动惯量( $kg\cdot cm^{2}$ )、 $J_{y}$ 表示绕矢状轴的转动惯量( $kg\cdot cm^{2}$ )、 $J_{z}$ 表示绕水平轴的转动惯量( $kg\cdot cm^{2}$ )。

图 2 额状面、矢状面和水平面示意图

其中：额状轴(X)垂直于额状面，矢状轴(y)垂直于矢状面和水平轴(z)垂直于水平面。

二、拉格朗日方程

2.1 拉格朗日方程
具体描述见[5]。
2.2 二连杆机器人动力学方程1
将连杆质量集中于各连杆末端的点质量，这样连杆可以忽略转动动能，只考虑移动动能，详细内容如[6]。
2.3 二连杆机器人动力学方程2[7-8]
如果考虑连杆质心位置，此时需要就考虑转动动能和移动动能。

图 3 下肢二连杆结构

连杆长L1和L2，质心位置d1和d2处。定义θ1和θ2为与竖直方向的夹角。

1、杆1的动能和势能

1.1、杆1的线速度
${x}_{1}=d_{1}sin(\Theta_{1} )$ ${y}_{1}=d_{1}cos(\Theta_{1} )$
$\dot{x}_{1}=d_{1}cos(\Theta_{1} )\dot{\Theta}_{1}$ $\dot{y}_{1}=-d_{1}sin(\Theta_{1} )\dot{\Theta}_{1}$
$v_{1}=\sqrt{\dot{x}_{1}^2+\dot{y}_{1}^2}$
$h_1=-d_{1}cos(\Theta_{1} )$
1.2、杆1的动能
$k_1=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}I_1\dot{\Theta} _1^2$
1.3、杆1的势能

2、杆2的动能和势能
2.1、杆2的线速度
${x}_{2}=L_{1}sin(\Theta_{1} )+d_{2}sin(\Theta_{2} )$ ${y}_{2}=L_{1}cos(\Theta_{1} )+d_{2}cos(\Theta_{2} )$
$\dot{x}_{2}=L_{1}cos(\Theta_{1} )\dot{\Theta}_{1}+d_{2}cos(\Theta_{2})(\dot{{\Theta}}_{2})$ $\dot{y}_{2}=-L_{1}sin(\Theta_{1} )\dot{\Theta}_{1}-d_{2}sin(\Theta_{2})(\dot{\Theta}_{2})$
$v_{2}=\sqrt{\dot{x}_{2}^2+\dot{y}_{2}^2}$
$h_2=-L_{1}cos(\Theta_{1} )-d_{2}cos(\Theta_{2} )$

2.2、杆2的动能

$k_2=\frac{1}{2}m_2v_2^2+\frac{1}{2}I_2\dot{\Theta} _2^2$
2.3、杆2的势能

3.动力学方程

$L=k_1+k_2-u_1-u_2$

1、势能与基准之间的关系
由于我们是以基准来计算势能，同时势能概念是相对于基准的高度越高，势能越大。
(1)、当连杆在基坐标下方时

$h_1=-d_{1}cos(\Theta_{1} )$

因为连杆在基坐标下方，所以其势能相对于零基准为负，同时由于方向在负方向，所以其位置也是负值。计算得出的u1即为正值，符合势能概念。

(2)、当连杆在基坐标上方时

$h_1=d_{1}cos(\Theta_{1} )$

因为连杆在基坐标上方，所以其势能相对于零基准为正，同时由于方向在正方向，所以其位置也是正值。计算得出的u1即为正值，符合势能概念。

2、第i个连杆的势能ui可以表示为

$u_i=-m_i{}^{0}\textrm{g}^{T}{}^{0}\textrm{P}_{C_{i}}+u_{{ref}_{i}}$

其中， $u_{{ref}_{i}}$ 是使最小值为零的常数，
比如=3，说明它和基准之间的势能为3，可以通过 $u_{{ref}_{i}}$ 来调整它的基准(个人理解)。

三、参考文献

[1].机器人学导论(第四版)
[2].可穿载型助力机霖人技术研究.陈峰.中国科学技术大学
[3].建模与仿真，王红卫，北京科学出版社，2002
[4].数学模型，陈义华，重庆大学出版社，1995
[5].操作臂动力学的拉格朗日方程-CSDN博客
[6].【深入浅出】机器人动力学-拉格朗日方程实例_拉格朗日动力学方程-CSDN博客
[7].坐/卧式下肢康复机器人研究
[8].【Matlab 六自由度机器人】机器人动力学之推导拉格朗日方程（附MATLAB机器人动力学拉格朗日方程推导代码）_机械臂拉格朗日动力学-CSDN博客[9].