三、季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）

1. 原理

SARIMA 模型是 ARIMA 模型的扩展，用于处理具有季节性成分的时间序列。SARIMA 模型引入了季节性成分，通过增加季节性自回归（SAR）、季节性差分（I）和季节性移动平均（SMA）项来建模。

2. 核心公式

推导：

3. 优缺点

• 1）优点：

• 适用于处理具有明显季节性成分的时间序列。

• 可以同时建模季节性和非季节性成分。

• 2）缺点：

• 模型复杂度高，参数较多，调整较为困难。

• 需要确定季节性周期。

4. 适用场景

SARIMA 模型适用于具有季节性波动的时间序列数据，如月度销售数据、季节性气象数据等。

5. 核心案例代码

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX

# 生成示例数据：季节性时间序列
np.random.seed(42)
dates = pd.date_range('2024-01-01', periods=120, freq='M')
seasonal_component = 10 + 10 * np.sin(np.linspace(0, 3 * np.pi, 120))
data = seasonal_component + np.random.randn(120) * 2  # 叠加噪声

# 创建DataFrame
df = pd.DataFrame(data, index=dates, columns=['Value'])

# 拟合SARIMA模型 (p=1, d=1, q=1, P=1, D=1, Q=1, s=12)
model = SARIMAX(df['Value'], order=(1, 1, 1), seasonal_order=(1, 1, 1, 12))
sarima_result = model.fit()

# 预测未来12个月
forecast = sarima_result.get_forecast(steps=12)
forecast_index = pd.date_range(df.index[-1] + pd.DateOffset(months=1), periods=12, freq='M')
forecast_values = forecast.predicted_mean

# 可视化
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(df.index, df['Value'], label='Observed', color='blue')
plt.plot(forecast_index, forecast_values, label='Forecast', color='orange', linestyle='--')
plt.fill_between(forecast_index,
                 forecast.conf_int().iloc[:, 0],
                 forecast.conf_int().iloc[:, 1],
                 color='#FFA07A', alpha=0.3)  # 使用有效的颜色代码
plt.title('SARIMA Model Forecast')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Value')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

图中展示了一个具有季节性波动的时间序列数据（蓝色）和未来 12 个月的预测值（橙色虚线）。预测区间的置信区间用浅橙色阴影表示。SARIMA 模型能够有效捕捉时间序列中的季节性模式。

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