【数据结构初阶】时间复杂度和空间复杂度

前言

数据结构初阶用C语言实现。

数据结构

数据结构就是在内存中管理数据。

数据结构 (Data Structure) 是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

算法

算法是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

算法：定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。

算法如冒泡排序、二分查找。注意递归不算是算法，递归是解决算法问题的一个方法。

算法的分类：暴力求解、回溯、分支界定等。

对数据进行某种方式的处理就是算法。

算法效率

复杂度：衡量一个算法的好与坏。是一个标准。

算法的复杂度：

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢；

空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。

在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

注意不能通过代码运行的时间衡量一个算法的好与不好：一个程序的算法实现的时间是和环境（如十年前或十年后）有关系的，硬件是在不断进步的。

时间复杂度

时间复杂度的定义：算法中的基本操作的执行次数。

理解：

一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。

算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数为算法的时间复杂度。

这个函数是数据里面的带未知数的函数式。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

例1：

计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

#include <stdio.h>
int main()
{
	void Func1(int N)
	{
		int count = 0;
		for (int i = 0; i < N; ++i)
		{
			for (int j = 0; j < N; ++j)
			{
				++count;
			}
		}

		for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
		{
			++count;
		}
		int M = 10;
		while (M--)
		{
			++count;
		}
		printf("%d\n", count);
	}
	return 0;
}

这个程序的时间复杂度函数是：F（N）= N * N + 2N + 10
执行了（N * N + 2N + 10）次。

算一个程序的时间复杂度是在计算执行某条语句多少次，与环境没有关系。

讲时间复杂度会涉及大O渐进表示法。

Func1 执行的基本操作次数：

N = 10 F(N) = 130

N = 100 F(N) = 10210

N = 1000 F(N) = 1002010

发现，随着N的变大，后两项对整个结果的影响变小，甚至可以忽略不计。当N趋于无限大的时候，这个表达式就相当于等价于N*N，此时后两项对结果的影响可以忽略不计。

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里就使用大O的渐进表示法，表示为O(N^2)。

大O的渐进表示法

基于上述例子，大O的渐进表示法的意思就是先求出准确的执行次数结果，再看哪一个对结果的影响较大，对结果影响不大的项就忽略掉。

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

大O阶方法的规则：

1、如果只有常数，用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、去掉最高阶项的系数。如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

例2：进行时间复杂度的计算

#include <stdio.h>
int main()
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k);
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
	return 0;
}