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518. 零钱兑换 II
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1:
- 输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
- 输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
- 5=5
- 5=2+2+1
- 5=2+1+1+1
- 5=1+1+1+1+1
示例 2:
- 输入: amount = 3, coins = [2]
- 输出: 0
- 解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。
示例 3:
- 输入: amount = 10, coins = [10]
- 输出: 1
注意，你可以假设：
- 0 <= amount (总金额) <= 5000
- 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
- 硬币种类不超过 500 种
- 结果符合 32 位符号整数
思路
这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。
对完全背包还不了解的同学，可以看这篇：动态规划：关于完全背包，你该了解这些！
但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！
注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？
例如示例一：
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合，都是 2 2 1。
如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。
组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。
那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关!
回归本题，动规五步曲来分析如下：
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
2.确定递推公式
dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇494. 目标和中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];
3.dp数组如何初始化
首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。
那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。
但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少。
这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的。
下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。
4.确定遍历顺序
本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？
我在动态规划：关于完全背包，你该了解这些！ 中讲解了完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。
但本题就不行了！
因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！
而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。
所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。
本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。
那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。
我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。
代码如下：
for i in range(len(coins)): // 遍历物品
for j in range(coins[i],amount+1): // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！
如果把两个for交换顺序，代码如下：
for j in range(amount+1): // 遍历背包容量
for i in range(len(coins)): // 遍历物品
if j - coins[i] >= 0:
dp[j] += dp[j - coins[i]]
背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数！
可能这里很多同学还不是很理解，建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）
或者可以这样理解
5.举例推导dp数组
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
最后红色框dp[amount]为最终结果。
方法一： 动态规划
class Solution:
def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
dp = [0]*(amount + 1)
dp[0] = 1
# 遍历物品
for i in range(len(coins)):
# 遍历背包
for j in range(coins[i], amount + 1):
dp[j] += dp[j - coins[i]]
return dp[amount]心得收获
在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
377. 组合总和 Ⅳ
给定一个由正整数组成且不存在重复数字的数组，找出和为给定目标正整数的组合的个数。
示例:
- nums = [1, 2, 3]
- target = 4
所有可能的组合为： (1, 1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 1) (1, 3) (2, 1, 1) (2, 2) (3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
因此输出为 7。
思路
本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！
弄清什么是组合，什么是排列很重要。
组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。
排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。
大家在公众号里学习回溯算法专题的时候，一定做过这两道题目回溯算法：39.组合总和 和回溯算法：40.组合总和II 会感觉这两题和本题很像！
但其本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。
如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。
动规五部曲分析如下：
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]
2.确定递推公式
dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。
因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。
在动态规划：494.目标和和 动态规划：518.零钱兑换II中我们已经讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题也一样。
3.dp数组如何初始化
因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。
至于dp[0] = 1 有没有意义呢？
其实没有意义，所以我也不去强行解释它的意义了，因为题目中也说了：给定目标值是正整数！ 所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式。
至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢？
初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。
4.确定遍历顺序
个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。
得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。
本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。
在动态规划：518.零钱兑换II 中就已经讲过了。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！
所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。
5.举例来推导dp数组
我们再来用示例中的例子推导一下：
方法一：动态规划-一维
class Solution:
def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
dp = [0] * (target + 1)
dp[0] = 1
for i in range(1, target + 1): # 遍历背包
# 第一种写法
# for j in nums:
# 下面的nums[j]都看可以直接用j代替
# 第二种写法
for j in range(len(nums)): # 遍历物品
if i - nums[j] >= 0:
dp[i] += dp[i - nums[j]]
# 第一种写法
# return dp[-1]
# 第二种写法
return dp[target]方法二：动态规划-二维
class Solution:
def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
# dp[][j]和为j的组合的总数
dp = [[0] * (target+1) for _ in nums]
for i in range(len(nums)):
dp[i][0] = 1
# 这里不能初始化dp[0][j]。dp[0][j]的值依赖于dp[-1][j-nums[0]]
for j in range(1, target+1):
for i in range(len(nums)):
if j - nums[i] >= 0:
dp[i][j] = (
# 不放nums[i]
# i = 0 时，dp[-1][j]恰好为0，所以没有特殊处理
dp[i-1][j] +
# 放nums[i]。对于和为j的组合，只有试过全部物品，才能知道有几种组合方式。所以取最后一个物品dp[-1][j-nums[i]]
dp[-1][j-nums[i]]
)
else:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
return dp[-1][-1]心得收获
求装满背包有几种方法，递归公式都是一样的，没有什么差别，但关键在于遍历顺序！
本题与动态规划：518.零钱兑换II 就是一个鲜明的对比，一个是求排列，一个是求组合，遍历顺序完全不同。
70. 爬楼梯 （进阶）
- 题目链接：卡码网：57. 爬楼梯
文章讲解：代码随想录
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
输入描述：输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m
输出描述：输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。
输入示例：3 2
输出示例：3
提示：
当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。
此时你有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
思路
这次终于讲到了背包问题，我选择带录友们再爬一次楼梯！
这道题目 我们在动态规划：爬楼梯 中已经讲过一次了，这次我又给本题加点料，力扣上没有原题，所以可以在卡码网57. 爬楼梯 上来刷这道题目。
我们之前做的 爬楼梯 是只能至多爬两个台阶。
这次改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
这又有难度了，这其实是一个完全背包问题。
1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。
每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。
问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。
此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！
和昨天的题目动态规划：377. 组合总和 Ⅳ基本就是一道题了。
动规五部曲分析如下：
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
2.确定递推公式
在动态规划：494.目标和、 动态规划：518.零钱兑换II 、动态规划：377. 组合总和 Ⅳ 中我们都讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]
3.dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。
下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果
4.确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
5.举例来推导dp数组
介于本题和动态规划：377. 组合总和 Ⅳ几乎是一样的，这里我就不再重复举例了。
方法一：动态规划
def climbing_stairs(n,m):
dp = [0]*(n+1) # 背包总容量
dp[0] = 1
# 排列题，注意循环顺序，背包在外物品在内
for j in range(1,n+1):
for i in range(1,m+1):
if j>=i:
dp[j] += dp[j-i] # 这里i就是重量而非index
return dp[n]
if __name__ == '__main__':
n,m = list(map(int,input().split(' ')))
print(climbing_stairs(n,m))心得收获
本题和动态规划：377. 组合总和 Ⅳ几乎是一样的，思路题解参考上一题即可