前言🎆

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目录🎆

Ⅰ.树的介绍

1. 树的概念
2. 树与非树
3. 树的名称
4. 树的表示
5. 什么是二叉树

Ⅱ.二叉树的介绍

1. 二叉树的组成
2. 普通二叉树
3. 特殊二叉树
4. 二叉树的性质
5. 二叉树性质题目
6. 二叉树的存储结构

Ⅰ.树的介绍✨

1.树的概念🎄

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

• 根结点是一个特殊的结点，它没有前驱结点。
• 除根结点外，其余结点被分为M(M>0)个互不相交的集合，其中每一个集合又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
• 树是递归定义的。

2.树与非树🎄

以下三种均不是树，树是不具有回路的(这种带环的结构是"图")

树的结构：

3.树的名称🎄

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：E的为3
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

4.树的表示🎄

树结构相对于线性表要更复杂，它既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，树的表示法有多种：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法等。其中最常用的便是孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* firstChild; //第一个孩子结点
    struct Node* pNextBrother; //指向下一个兄弟结点
    DataType data; //结点中的数据
};

5.什么是二叉树🎄

一棵二叉树是结点的有限集合，该集合由一个根结点加上左子树和右子树组成，集合也可能为空

由此可以看出:

• 二叉树不存在度大于2的结点
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

Ⅱ.二叉树的介绍✨

1.二叉树的组成🎄

任意二叉树都由以下五种情况复合而成的：

2.普通二叉树🎄

3.特殊二叉树🎄

• 满二叉树：一个二叉树，如果每一层的节点数都为2，那么它就是满二叉树。也就是说当一个二叉树层数为K时，它的总结点数为2^k-1。
• 完全二叉树：当一个二叉树层数为K时，它的前K-1层结构都为满二叉树，且第K层的结点是有序的，那么它就是完全二叉树。满二叉树是一种特殊的完全二叉树

4.二叉树的性质🎄

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1

3. 对任何一棵非空二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n₀, 度为2的分支结点个数为n₂,则有n₀=n₂+1

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log₂(n+1) (ps：log₂(n+1)是log以2为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

   1.若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

   2.若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

   3.若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

5.二叉树性质题目🎄

第一题:
答案:🅱️
解析:叶子结点也就是度为0的数，由性质3可得，度为0的结点永远比度为2的结点多1，所以可以直接得出答案B

第二题:

答案:🅰️

解析:我们假设度为0,1,2的结点各有N₀,N₁,N₂个，那么N₀+N₁+N₂=2N，又因为度为0的结点永远比度为2的结点多1，所以公式可以变成N₀+N₁+N₀-1=2N–>2*N₀+N₁-1=2N,而完全二叉树的N₁结点要么有一个要么没有，最后因为个数要满足整数，所以N₁只能是1(如果N₁为0最后结果2*N₀-1=2N可能为小数)，则最终公式为:N₀=N，所以选A

第三题:

答案:🅱️

解析:假设高度为h，由性质2可得最多结点为2^h-1，最少结点为2^h-1-1+1(高度h-1为满二叉树，最后一层只有一个)，最后我们将答案带入套一下，看谁531在谁的范围中，谁就是高度，此时2¹⁰-1=1023，2^10-1-1+1=512，所以选B

第四题:

答案:🅱️

解析:跟第一题做法一样，假设度为0,1,2的结点各有N₀,N₁,N₂个，那么N₀+N₁+N₂=767，换算一下，2*N₀+N₁=768，而这个数也不能等于小数，所以选B

6.二叉树的存储结构🎄

二叉树一般有两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构

1.顺序存储

就是用数组来存储，一般只适用于完全二叉树，否则会有空间浪费，二叉树顺序存储在物理结构上是数组，逻辑结构上是二叉树

2.链式存储

用链表表示一棵二叉树。通常是链表中每个节点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在结点的地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，我们初阶一般都是二叉链，后面更深入的数据结构红黑树会用到三叉链

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 	BTDataType _data; // 当前节点值域
};
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
 	struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
 	struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 	BTDataType _data; // 当前节点值域
}；