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🔥本篇概览：数据结构与算法 || 详细讲解了组合总和的回溯算法。🌈⭕🔥
【计算机领域一切迷惑的源头都是基本概念的模糊，算法除外】
🌈序言
算法乃我长久之志也，此关必过。今日得此代码随想录之良品辅助，应按此路学之习之，而长久不可懈怠。
前一系列文章详细讲解了回溯算法的经典运用——组合（组分子排棋），建议先将这部分知识掌握之后再来学习本篇内容，点击查看。
🌈引出
别看本篇选的是组合总和III，而不是组合总和，本题和上一篇77.组合相比难度刚刚好！
题目：
216.组合总和III
找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。
说明：
- 所有数字都是正整数。
- 解集不能包含重复的组合。
示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]
示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]
🔥思路分析：
本题就是在[1,2,3,4,5,6,7,8,9]这个集合中找到和为n的k个数的组合。
相对于77. 组合 (opens new window)，无非就是多了一个限制，本题是要找到和为n的k个数的组合，而整个集合已经是固定的了[1,...,9]。
想到这一点了，做过77. 组合 (opens new window)之后，本题是简单一些了。
本题k相当于树的深度，9（因为整个集合就是9个数）就是树的宽度。
例如 k = 2，n = 4的话，就是在集合[1,2,3,4,5,6,7,8,9]中求 k（个数） = 2, n（和） = 4的组合。
选取过程如图：
图中，可以看出，只有最后取到集合（1，3）和为4 符合条件。
回溯三部曲
-
确定递归函数参数
和77. 组合 (opens new window)一样，依然需要一维数组path来存放符合条件的结果，二维数组result来存放结果集。
这里我依然定义path 和 result为全局变量。
至于为什么取名为path？从上面树形结构中，可以看出，结果其实就是一条根节点到叶子节点的路径。
vector<vector<int>> result; // 存放结果集
vector<int> path; // 符合条件的结果接下来还需要如下参数：
- targetSum（int）目标和，也就是题目中的n。
- k（int）就是题目中要求k个数的集合。
- sum（int）为已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和。
- startIndex（int）为下一层for循环搜索的起始位置。
所以代码如下：
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex)其实这里sum这个参数也可以省略，每次targetSum减去选取的元素数值，然后判断如果targetSum为0了，说明收集到符合条件的结果了，我这里为了直观便于理解，还是加一个sum参数。
还要强调一下，回溯法中递归函数参数很难一次性确定下来，一般先写逻辑，需要啥参数了，填什么参数。
-
确定终止条件
什么时候终止呢？
在上面已经说了，k其实就已经限制树的深度，因为就取k个元素，树再往下深了没有意义。
所以如果path.size() 和 k相等了，就终止。
如果此时path里收集到的元素和（sum） 和targetSum（就是题目描述的n）相同了，就用result收集当前的结果。
所以 终止代码如下：
if (path.size() == k) {
if (sum == targetSum) result.push_back(path);
return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
}-
单层搜索过程
本题和77. 组合 (opens new window)区别之一就是集合固定的就是9个数[1,...,9]，所以for循环固定i<=9（这里很重要的，不然之后的循环条件就会出错。）
如图：
处理过程就是 path收集每次选取的元素，相当于树型结构里的边，sum来统计path里元素的总和。
代码如下：
for (int i = startIndex; i <= 9; i++) {
sum += i;
path.push_back(i);
backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
sum -= i; // 回溯
path.pop_back(); // 回溯
}别忘了处理过程 和 回溯过程是一一对应的，处理有加，回溯就要有减！（important）
参照关于回溯算法，你该了解这些！ (opens new window)中的模板，不难写出如下C++代码：
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result; // 存放结果集
vector<int> path; // 符合条件的结果
// targetSum：目标和，也就是题目中的n。
// k：题目中要求k个数的集合。
// sum：已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和。
// startIndex：下一层for循环搜索的起始位置。
void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) {
if (path.size() == k) {
if (sum == targetSum) result.push_back(path);
return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
}
for (int i = startIndex; i <= 9; i++) {
sum += i; // 处理
path.push_back(i); // 处理
backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
sum -= i; // 回溯
path.pop_back(); // 回溯
}
}
public:
vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
result.clear(); // 可以不加
path.clear(); // 可以不加
backtracking(n, k, 0, 1);
return result;
}
};剪枝操作
这道题目，剪枝操作其实是很容易想到了，想必大家看上面的树形图的时候已经想到了。
如图：
已选元素总和如果已经大于n（图中数值为4）了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉。
那么剪枝的地方可以放在递归函数开始的地方，剪枝代码如下：
if (sum > targetSum) { // 剪枝操作
return;
}当然这个剪枝也可以放在 调用递归之前，即放在这里，只不过要记得 要给回溯操作给做了。
for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) { // 剪枝
sum += i; // 处理
path.push_back(i); // 处理
if (sum > targetSum) { // 剪枝操作
sum -= i; // 剪枝之前先把回溯做了
path.pop_back(); // 剪枝之前先把回溯做了
return;
}
backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
sum -= i; // 回溯
path.pop_back(); // 回溯
}和回溯算法：组合问题再剪剪枝 (opens new window)一样，for循环的范围也可以剪枝，i <= 9 - (k - path.size()) + 1就可以了。
最后C++代码如下：
class Solution {
private:
vector<vector<int>> result; // 存放结果集
vector<int> path; // 符合条件的结果
void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) {
if (sum > targetSum) { // 剪枝操作
return;
}
if (path.size() == k) {
if (sum == targetSum) result.push_back(path);
return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
}
for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) { // 剪枝
sum += i; // 处理
path.push_back(i); // 处理
backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex
sum -= i; // 回溯
path.pop_back(); // 回溯
}
}
public:
vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
result.clear(); // 可以不加
path.clear(); // 可以不加
backtracking(n, k, 0, 1);
return result;
}
};- 时间复杂度: O(n * 2^n)
- 空间复杂度: O(n)
🌈最终代码：
模版方法：
class Solution {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
backTracking(n, k, 1, 0);
return result;
}
private void backTracking(int targetSum, int k, int startIndex, int sum) {
// 减枝
if (sum > targetSum) {
return;
}
if (path.size() == k) {
if (sum == targetSum) result.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
// 减枝 9 - (k - path.size()) + 1
for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) {
path.add(i);
sum += i;
backTracking(targetSum, k, i + 1, sum);
//回溯
path.removeLast();
//回溯
sum -= i;
}
}
}今日问题：
🔥今日总结：
开篇就介绍了本题与77.组合 (opens new window)的区别，相对来说加了元素总和的限制，如果做完77.组合 (opens new window)再做本题在合适不过。
分析完区别，依然把问题抽象为树形结构，按照回溯三部曲进行讲解，最后给出剪枝的优化。
相信做完本题，大家对组合问题应该有初步了解了。
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