一、Lingo基本概念
Linear Interactive and General Optimizer
交互式的线性和通用优化求解器
二、Lingo函数
Lingo有9种类型的函数：
①基本运算符：包括算术运算符、逻辑运算符和关系运算符
②数学函数：三角函数和常规的数学函数
③金融函数：Lingo提供的两种金融函数
④概率函数：Lingo提供了大量概率相关的函数
⑤变量界定函数：这类函数用来定义变量的取值范围
⑥集操作函数：这类函数为对集的操作提供帮助
⑦集循环函数：遍历集的元素，执行一定的操作的函数
⑧数据输入输出函数：这类函数允许模型和外部数据源相联系，进行数据的输入输出
⑨辅助函数：各种杂类函数
1.基本运算符
Ⅰ算术运算符
五种二元运算符：^乘方 ×乘 /除 +加 -减
唯一一元运算符：-取反函数
优先级（高到低）：取反—乘方—乘除—加减
Ⅱ逻辑运算符
主要用于集循环函数的条件表达式中，来控制在函数中哪些集成员被包含，哪些被排斥。在创建稀疏集时用在成员资格过滤器中。
9种逻辑运算符
#not# 否定该操作数的逻辑值，是一个一元运算符
#eq# 若两个运算数相等，则为true；否则为flase
#ne# 若两个运算符不相等，则为true；否则为flase
#gt# 若左边运算符严格大于右边运算符，则为true；否则为flase
#ge# 若左边运算符大于或等于右边运算符，则为true；否则为flase
#lt# 若左边运算符严格小于右边运算符，则为true；否则为flase
#le# 若左边运算符小于或等于右边运算符，则为true；否则为flase
#and# 仅当两个参数都为true时，结果为true；否则为flase
#or# 仅当两个参数都为false时，结果为false；否则为true
运算符优先级（从高到低）：#not#>#eq# #ne# #gt# #ge# #lt# #le#>#and# #or#
字母缩写辅助：g:greater l:less e:equal t:than n:not
Ⅲ关系运算符
三种关系运算符：=、<=、>=
Lingo中还能用<表示小于等于关系，>表示大于等于关系。
Lingo并不支持严格大于和严格小于关系运算符
如果需要严格大于和严格小于关系，比如让A严格小于B：A<B 可以把它变成表达式：A+ℇ<=B
这里ℇ是一个很小的正数，它的值依赖于模型中A小于B多少才算不等
三类操作符优先级（由高到低）：#not# -（取反）>乘方>乘除>加减>#eq# #ne# #gt# #ge# #lt# #le# #and# #or#> >= = <=
比较逻辑运算符和关系运算符
在Lingo中，关系运算符主要是被用在模型中，来指定一个表达式的左边是否等于、小于等于或者大于等于右边，形成模型的一个约束条件。关系运算符和逻辑运算符截然不同，前者是模型中该关系运算符所指定关系的为真描述，而后者仅仅判断一个该关系是否被满足：满足为真，不满足为假
2.数学函数
@abs(x) 返回x的绝对值
@sin(x) 返回x的正弦值，x采用弧度制
@cos(x) 返回x的余弦值
@tan(x) 返回x的正切值
@exp(x) 返回常数e的x次方
@log(x) 返回x的自然对数
@lgm(x) 返回x的gamma函数的自然对数
@sign(x) 如果x<0返回-1；否则，返回1
@floor(x) 返回不大于x的最大整数（高斯函数）
@smax(x1,x2,...,xn) 返回x1,x2,...,xn中的最大值
@smin(x1,x2,...,xn) 返回x1,x2,...,xn中的最小值
3.概率函数
①@pbn(p,n,x)
二项分布的累积分布函数。当n和（或）x不是整数时，用线性插值法进行计算。
②@pcx(n,x)
自由度为n的x^2分布的累积分布函数
③@peb(a,x)
当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且允许无穷排队时的Erlang繁忙概率
④@pel(a,x)
当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且不允许排队时的Erlang繁忙概率
⑤@pfd(n,d,x)
自由度为n和d的F分布的累积分布函数
⑥@pfs(a,x,c)
当负荷上限为a，顾客数为c，平行服务器数量为x时，有限源的Poisson服务系统的等待或返修顾客数的期望值。a是顾客数乘以平均服务时间，再除以平均返修时间。当c和（或）x不是整数时，采用线性插值进行计算。
⑦@phg(pop,g,n,x)
超几何（Hypergeometric）分布的累积分布函数。pop表示产品总数，g是正品数。从所有产品中任意取出n（n≤pop）件。pop，g，n和x都可以是非整数，这时采用线性插值进行计算。
⑧@ppl(a,x)
Possion分布的线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从均值为a的Possion分布
⑨@pps(a,x)
均值为a的Possion分布的累积分布函数。当x不是整数时，采用线性插值进行计算。
⑩@psl(x)
单位正态线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从标准正态分布
⑪@psn(x)
标准正态分布的累积分布函数
⑫@ptd(x)
自由度为n的t分布的累积分布函数
⑬@qrand(seed)
产生服从(0,1)区间的拟随机数。@qrand只允许在模型的数据部分使用，它将用拟随机数填满数集属性。通常，声明一个m×n的二维表，m表示运行实验的次数，n表示每次实验所需的随机数的个数。在行内，随机数是独立分布的；在行间，随机数是非常均匀的。这些随机数是用“分层抽样”的方法产生的。
⑭rand(seed)
返回0和1间的伪随机数，依赖于指定的种子。典型用法是U(I+1)=@rand[U(I)]。注意如果seed不变，那么产生的随机数也不变。
4.变量界定函数
变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制共4种：
①@bin(x)
限制x为0或1
②@bnd(L,x,U)
限制L≤x≤U
③@free(x)
取消对变量x的默认下界为0的限制，即x可以取任意实数
④@gin(x)
限制x为整数
在默认情况下，Lingo规定变量是非负的，也就是说下界为0，上界为+∞。@free(x)取消对变量x的默认下界为0的限制，使变量可以取负值。@bnd用于设定一个变量的上下界，也可以取消默认下界为0的约束。
5.集操作函数
①@in(set_name,primitive_index_1[,pimitive_index_2,...])
如果元素在指定集中，返回1；否则返回0
②@index([set_name,]primitive_set_element)
该函数返回在集set_name中原始集成员primitive_set_element的索引。如果set_name被忽略，那么Lingo将返回与primitive_set_element匹配的第一个原始集成员的索引。如果找不到，则产生一个错误。
③@wrap(index,limit)
该函数返回j=index-k*limit，其中k是一个整数，取适当值保证j落在区间[1,limit]内。该函数相当于index模limit。该函数在循环、多阶段计划编制中特别有用。
④@size(set_name)
该函数返回集set_name的成员个数。在模型中明确给出集大小时最好使用该函数。它的使用使该模型更加数据中立，集大小改变时也更易维护。
6.输入和输出函数
输入和输出函数可以把模型和外部数据比如文本文件、数据库和电子表格等连接起来。
①@file函数
该函数用从外部文件中输入数据，可以放在模型中任何地方。该函数的语法格式为@file(’filename’)。这里filename是文件名，可以采用相对路径和绝对路径两种表示方式。必须注意，@file函数对同一文件的两种表示方式的处理和对两个不同的文件处理是一样的。
把记录结束标记（~）之间的数据文件部分称为记录。如果数据文件中没有记录结束标记，那么整个文件被看作单个记录。注意到除了记录结束标记外，模型的文本和数据同它们直接放在模型里一样的。
数据文件中的记录结束标记连同模型中@file函数调用如何工作？
当在模型中第一次调用@file函数时，Lingo打开数据文件，然后读取第一个记录；第二次调用@file函数时，Lingo读取第二个记录，等等。文件的最后一条记录可以没有记录结束标记，当遇到文件结束标记时，Lingo会读取最后一条记录，然后关闭文件。如果最后一条记录也有记录结束标记，那么直到Lingo求解完当前模型后才关闭该文件。如果多个文件保持打开状态，可能会导致一些问题，因为这会使同时打开的文件总数超过允许同时打开文件的上限16。
当使用@file函数时，可把记录的内容（除了一些记录结束标记外）看作是替代模型中@file(’filename’)位置的文本。这也就是说，一条记录可以是声明的一部分，整个声明，或一系列声明。在数据文本中注释被忽略掉。注意在Lingo中不允许嵌套使用@file函数。
②@text函数
该函数被用在数据部分用来把解输出至文本文件中。它可以输出集成员和集属性值。其语法为@text([’filename’])，这里的filename是文件名，可以采用相对路径和绝对路径两种表示方式。如果忽略filename，那么数据就被输出到标准输出设备（大多数情况是屏幕）。@text函数仅能出现在模型数据部分的一条语句左边，右边是集名（用来输出该集中的所有成员名）或集属性名（用来输出该集属性的值）
我们把用接口函数产生输出的数据声明称为输出操作。输出操作仅当求解器求解完模型后才执行，执行次序取决于其在模型中出现的先后。
③@ole函数
@ole是从Excel中引入或输出数据的接口函数，它是基于传输的OLE技术。OLE传输直接在内容中传输数据，并不借助于中间文件。当使用@ole时，Lingo先装载Excel，再通知Excel装载指定的电子数据表，最后从电子数据表中获得Ranges。为了使用OLE函数，必须有Excel5及其以上版本。OLE函数可在数据部分和初始部分引入数据。
@ole可以同时读集成员和集属性，集成员最好用文本格式，集属性最好用数值形式。原始集每个集成员需要一个单元（cell），而对于n元的派生集每个集成员需要n个单元，这里第一行的n个单元对应派生集的第一个集成员，第二行的n个单元对应派生集的第二个集成员，以此类推。
@ole只能读一维或二维的Ranges（在单个的Excel工作表中），但不能读间断的或三维的Ranges。Ranges是自左而右、自上而下来读。
④@ranged(variable_or_row_name)
为了保持最优基不变，变量的费用系数或约束行的右端项允许减少的量
⑤@ranged(variable_or_row_name)
为了保持最优基不变，变量的费用系数或约束行的右端项允许增加的量
⑥@status()
返回Lingo求解模型结束后的状态：
0 GlobalOptimum 全局最优
1 Infeasible 不可行
2 Unbounded 无界
3 Undetermined 不确定
4 Feasible 可行
5 InfeasibleorUnbounded 通常需要关闭“预处理”选项后重新求解模型，以确定模型究竟是不可行还是无界
6 LocalOptimum 局部最优
7 LocallyInfeasible 局部不可行，尽管可行解可能存在，但是Lingo并没有找到一个
8 Cutoff 目标函数的截断值被达到
9 NumericError 求解器因在某约束中遇到无定义的算术运算而停止
通常如果返回值不是0，4，6时，那么解将不可信，几乎不能用。该函数仅被用在模型的数据部分来输出数据。
⑦@dual
@dual(variable_or_row_name)返回变量的判断数（检验数）或约束行的对偶（影子）价格（dualprices）
7.辅助函数
①@if(logical_condition,true_result,false_result)
@if函数将评价一个逻辑表达式logical_condition，如果为真，返回true_result,否则返回false_result
②@warn(’text’,logical_condition)
如果逻辑条件logical_condition为真，则产生一个内容为’text’的信息框
三、Lingo注意事项
- Lingo中模型以“MODEL:”开始，以“END”结束，对于简单的模型，这两个语句都可以省略
- Lingo每行后面均增加了一个分号“;”
- 所有符号要在英文状态下输入
- min=函数，max=函数，表示求函数的最小，最大值
- Lingo中变量不区分大小写，变量名可以超过8个，不能超过32个，需以字母开头
- 用Lingo解优化模型时已假定所有变量非负，如果想解除这个限制可以用函数@free(x)，这样x可以取到任意实数
- 变量可以放在约束条件右端，同时数字也可以放在约束条件左边
- Lingo模型语句由一系列语句组成，每一个语句都必须以“;”结尾
- Lingo中以“！”开始的是说明语句，说明语句也以“;”结束
- 参考资料：《全国大学生数学建模竞赛指南》