函数递归
1.递归是什么？
递归是学习C语⾔函数绕不开的⼀个话题，那什么是递归呢？
递归其实是⼀种解决问题的⽅法，在C语⾔中，递归就是函数⾃⼰调⽤⾃⼰。 写⼀个史上最简单的C语⾔递归代码：
#include <stdio.h>
//这个代码是一个递归但是是错误使用了递归
int main()
{
printf("hehe\n");
main();
return 0;
}上述就是⼀个简单的递归程序，只不过上⾯的递归只是为了演⽰递归的基本形式，不是为了解决问题，代码最终也会陷⼊死递归，导致栈溢出（Stack overflow）。
其实每一次函数的调用都会在内存的栈区中申请一块空间，就向下面这样一直调用main会使栈空间溢出。
1.1 递归的思想：
把⼀个⼤型复杂问题层层转化为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的⼦问题来求解；直到⼦问题不能再被拆分，递归就结束了。所以递归的思考⽅式就是把⼤事化⼩的过程。
递归中的递就是递推的意思，归就是回归的意思，接下来慢慢来体会。
1.2 递归的限制条件
递归在书写的时候，有2个必要条件：
• 递归存在限制条件，当满⾜这个限制条件的时候，递归便不再继续。(意思就是递归不能无限递归下去！)
• 每次递归调⽤之后越来越接近这个限制条件。（有机会停下来）
在下⾯的例⼦中，我们逐步体会这2个限制条件。
2.递归举例
2.1 举例1：求n的阶乘
⼀个正整数的阶乘（factorial）是所有⼩于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。
⾃然数n的阶乘写作 n!。
题⽬：计算n的阶乘（不考虑溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。
2.1.1 分析和代码实现
n的阶乘的公式： n！ = n ∗ (n - 1)!
举例：
从这个公式不难看出：如何把⼀个较⼤的问题，转换为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的问题来求解的。
n的阶乘和n-1的阶乘是相似的问题，但是规模要少了n。有⼀种有特殊情况是：当 n==0 的时候，n的
阶乘是1，⽽其余n的阶乘都是可以通过上⾯的公式计算。
那我们就可以写出函数Fact求n的阶乘，假设Fact(n)就是求n的阶乘，那么Fact(n-1)就是求n-1的阶乘，函数如下：(直接根据上面的公式写下面这个函数代码)
int Fact(int n)
{
if(n==0)
return 0;
else
return n*Fac(n-1);
}测试：
#include <stdio.h>
int Fac(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else
return n * Fac(n - 1);
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int ret = Fac(n);
printf("%d\n", ret);
return 0;
}运⾏结果（这⾥不考虑n太⼤的情况，n太⼤存在溢出）;
2.1.2 画图推演
2.2 举例2：序打印⼀个整数的每⼀位
输⼊⼀个整数m，按照顺序打印整数的每⼀位。
⽐如：
输⼊：1234 输出：1 2 3 4
输⼊：520 输出：5 2 0
2.2.1 分析和代码实现
这个题⽬，放在我们⾯前，⾸先想到的是，怎么得到这个数的每⼀位呢？
如果n是⼀位数，n的每⼀位就是n⾃⼰
n是超过1位数的话，就得拆分每⼀位
1234%10就能得到4
然后1234/10得到123，这就相当于去掉了4
然后继续对123%10，就得到了3，再除10去掉3，以此类推
不断的 %10 和 /10 操作，直到1234的每⼀位都得到；但是这⾥有个问题就是得到的数字顺序是倒着的
但是我们有了灵感，我们发现其实⼀个数字的最低位是最容易得到的，通过%10就能得到 那我们假设想写⼀个函数Print来打印n的每⼀位，如下表⽰：
总的思想就是大事化小
print(1234)
print(123) + 4
print(12) + 3 + 4
print(1) + 2 + 3 + 4
当n为一位数（n<=9）的时候，就不用拆分位下来了
这也是一个递归的过程，也是递归的思想#include <stdio.h>
void print(int n)
{
if(n>9)
{
print(n/10);
}
//打印最后一位
printf("%d ",n%10);
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
print(n);
printf("\n");
return 0;
}
2.2.2 画图推演
以1234每⼀位的打印来推演⼀下
注意要将每一条语句执行完成才能执行下一条语句，这也就会不断地递归下去，直到符合函数返回条件，函数开始返回。
3.递归与迭代
递归是⼀种很好的编程技巧，但是和很多技巧⼀样，也是可能被误⽤的，就像举例1⼀样，看到推导的公式，很容易就被写成递归的形式：
int Fac(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else
return n * Fac(n - 1);
}Fact函数是可以产⽣正确的结果，但是在递归函数调⽤的过程中涉及⼀些运⾏时的开销。
在C语⾔中每⼀次函数调⽤，都需要为本次函数调⽤在内存的栈区，申请⼀块内存空间来保存函数调⽤期间的各种局部变量的值，这块空间被称为运行时堆栈，或者函数栈帧。
函数不返回，函数对应的栈帧空间就⼀直占⽤，所以如果函数调⽤中存在递归调⽤的话，每⼀次递归函数调⽤都会开辟属于⾃⼰的栈帧空间，直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。
所以如果采⽤函数递归的⽅式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，也可能引起栈溢出（stack overflow）的问题。
所以如果不想使⽤递归，就得想其他的办法，通常就是迭代的⽅式（通常就是循环的⽅式）。
⽐如：计算 n 的阶乘，也是可以产⽣1~n的数字累计乘在⼀起的。
int fact(int n)
{
int i = 0;
int ret = 1;
for(i = 1;i<= n;i++)
{
ret *=i;
}
return ret;
}上述代码是能够完成任务，并且效率是⽐递归的⽅式更好的。
事实上，我们看到的许多问题是以递归的形式进⾏解释的，这只是因为它⽐⾮递归的形式更加清晰，但是这些问题的迭代实现往往⽐递归实现效率更⾼。
迭代：就是重复做一件事
每次都可能微调
循环就是一种迭代
当⼀个问题⾮常复杂，难以使⽤迭代的⽅式实现时，此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运⾏时开销。
递归：1.简洁，根据公式就能写出代码
2.可能会占用栈区空间，浪费内存
3.效率的问题
（有的场景下，递归写出的代码，可能是非常有问题的，就不适合使用递归）
迭代：1.写代码比较难
2.效率高，空间浪费少
举例3：求第n个斐波那契数
我们也能举出更加极端的例⼦，就像计算第n个斐波那契数，是不适合使⽤递归求解的，但是斐波那契数的问题通过是使⽤递归的形式描述的，如下：
看到这公式，很容易诱导我们将代码写成递归的形式，如下所⽰：
int Fib(int n)
{
if(n<= 2)
return 1;
else{
return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
}测试代码：
#include <stdio.h>
int Fib(int n)
{
if(n<= 2)
return 1;
else{
return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int ret = Fib(n);
printf("%d",ret);
printf("\n");
return 0;
}
当我们n输⼊为50的时候，需要很⻓时间才能算出结果，这个计算所花费的时间，是我们很难接受的，这也说明递归的写法是⾮常低效的，那是为什么呢？
其实递归程序会不断的展开，在展开的过程中，我们很容易就能发现，在递归的过程中会有重复计算，⽽且递归层次越深，冗余计算就会越多。我们可以作业测试：
#include <stdio.h>
int count = 0;
int Fib(int n)
{
if(n==3)
count++;
if(n<= 2)
return 1;
else{
return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int ret = Fib(n);
printf("%d\n",ret);
printf("%d\n",count);
return 0;
}输出结果：
这⾥我们看到了，在计算第40个斐波那契数的时候，使⽤递归⽅式，第3个斐波那契数就被重复计算了39088169次，这些计算是⾮常冗余的。所以斐波那契数的计算，使⽤递归是⾮常不明智的，我们就得想迭代的⽅式解决。
我们知道斐波那契数的前2个数都1，然后前2个数相加就是第3个数，那么我们从前往后，从⼩到⼤计算就⾏了。
这样就有下⾯的代码：
#include <stdio.h>
// int count = 0;
int Fib(int n)
{
int a =1;
int b = 1;
//将c初始化为1，是为了应对你<=2的情况
int c = 1;
while( n >= 3)
{
c = a+b;
a = b;
b = c;
n--;
}
return c;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int ret = Fib(n);
printf("%d\n",ret);
// printf("%d\n",count);
return 0;
}
迭代的⽅式去实现这个代码，效率就要⾼出很多了。
有时候，递归虽好，但是也会引⼊⼀些问题，所以我们⼀定不要迷恋递归，适可⽽⽌就好。
拓展学习：
• ⻘蛙跳台阶问题
分析问题：
台阶个数 n 跳法
1 1
2 3
n jump(n) jump(n-1)+jump(n-2)
当跳n个台阶时，可以将问题转化为 跳n-1个台阶与跳n-2个台阶的总和，因为只有两种跳法。
代码实现
#include <stdio.h>
int jump(int n)
{
if(n==1)
return 1;
if(n == 2)
return 2;
if(n>2)
return jump(n-1)+jump(n-2);
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",jump(n));
return 0;
}
• 汉诺塔问题
以上2个问题都可以使⽤递归很好的解决，有兴趣可以研究。