赛题翻译

1.问题背景与模型概述

美国阿拉斯加的朱诺市（Juneau）常住人口约3万，却在最繁忙的旅游季接待多达160万邮轮乘客，总计年接待量甚至超过百万规模。短期内大量游客的到访虽然带来了可观的经济收入（如3.75亿美元以上的旅游相关收益），却也带来了 拥堵、环境压力、基础设施超负荷、本地居民生活质量下降等问题。

可持续旅游管理的核心在于：在保证当地经济收益的同时，维持生态环境、基础设施和社区生活的可承受度，并尽量实现长远、稳健的发展。为此，我们想构建一个可持续旅游规划的数学模型，它能够：

1. 度量游客数量、旅游收益、基础设施负荷、环境影响等多方面因素；

2. 平衡经济收入、环境保护与本地居民福祉；

3. 为城市管理者提供策略，例如：

   • 对每日/每季游客数量设定上限；

   • 征收额外游客税并将其投入保护基金或基础设施建设；

   • 投入公共工程（垃圾处理、污水系统升级、公共交通改善等）；

   • 制定限制性政策（如限制游轮停靠数量、提高船舶环保要求）。

本模型的结构可概括为“收益最大化”或“综合满意度最大化”的优化框架，结合对 环境/社会承载力 的约束，附带投入-产出反馈。最后，我们需进行敏感性分析，评估参数变化（游客意愿、税率、环境容量等）对最优方案的影响。

2.模型要素与决策变量

2.1 模型要素概述

在可持续旅游情境下，通常需要综合考虑以下关键要素：

1. 游客数量：在给定时段内(如月/季/年)接待的游客总量，或按邮轮泊位数计。游客量越大，往往带来更多旅游收益，却也会带来更高的环境和基础设施压力。

2. 旅游收入与成本：

   • 直接旅游消费：每位游客在住宿、餐饮、交通、购物、娱乐等方面的平均消费。

   • 管理成本：随着游客量增加，城市需投入更多资源来维护秩序、管理交通、处置垃圾、保障安全等。

3. 税收与资金分配：通过征收游客税或上调酒店税等形式，政府获取额外资金，然后投入到基础设施、环境保护、社区项目等方面，以提升长远的承载能力或减少负面影响。

4. 环境与基础设施承载力：

   • 若游客量超出某个阈值，拥堵、环境破坏、社区冲突等负面效应将迅速加剧。

   • 投资基础设施(如污水处理厂、公共交通)或环境保护项目(如垃圾回收系统、生态修复)可在一定程度上提高承载能力。

5. 社会福祉或满意度：包含居民对旅游的接受度、住房租金压力、噪音污染等。若模型需要更深层次社区分析，可将其纳入目标或约束。但为简化，通常在初步模型中将其融入“环境-城市容量”或“成本”函数之中。

2.2 决策变量定义

以下给出一个示例的最小模型框架，假设我们按年度(或旺季/淡季)进行规划：

1. • 表示第 年(或季)接纳的游客数量(可理解为总访客人次)。

   • 若想区分邮轮游客、自由行游客等类型，可定义多个决策变量，如 、等。

2. • 表示第年征收的游客税率(如每人$/人次，或与消费额相关的百分比)。

   • 若税率随时间固定，也可将 作为常量，而非决策变量；若只想优化游客数量而非税率，可在其他约束中固定的范围。

3. • 表示第 年投入于基础设施与环境保护的资金(单位：美元)。

   • 该资金主要来源于游客税及其他财政来源，需要与总预算挂钩或从旅游收益中扣除。

4. 可选的“模式选择”或“限制性策略”决策变量

   • 例如，若城市可选择在某一年对邮轮数量设定上限、或对游客进行分流(推广新景点)等行为，可增设二元决策变量 表示是否采取该政策；但这会让模型复杂化。

通过上述主要决策变量，模型可以在游客数量与税率、投资等多重维度上同时做决策，从而在收益和环境保护之间寻找平衡。

2.3 参数说明

：每位游客平均旅游消费(美元/人)，可依据历史统计或分类估计(邮轮 vs. 散客)。

：城市基础运维成本(固定部分)。

：随游客量增加的可变成本(如垃圾处理、公共交通、治安管理等)。

：基础设施/环境保护投资对城市承载力的提升系数。

：初始城市承载力(单位可表示为“最大无痛苦游客数”或“环境容量指数”基准)。

：环境或社会负担系数，每新增1名游客对环境/社区的影响量(用于在后续约束或代价中计算)。

：对环境代价(或可视为碳排放、生态破坏)的经济惩罚权重。

3.目标函数与约束

3.1 目标函数

根据不同关注点，可有多种目标设定。以下举例“综合收益最大化”思路，其中既包含经济收益，也考虑环境代价。

3.1.1 经济收益

若不考虑税收分配细节，可写成：

• 第1项：游客直接消费

• 第2项：游客税总收入

• 第3项与第4项：城市运维成本由固定部分 和随游客增加的可变成本组成。

也可进一步细分，如：

以区分不同类型游客的消费水平。

3.1.2 投资与环境代价

• 投资 仅是资金流动，本身并不直接计入正收益或负成本。但若需要反映“投资机会成本”，可在目标函数中包含。

• 环境代价(或社会负面影响)可定义为： , 其中 αxt\alpha x_tαxt 表示游客带来的负面影响，表示投资减缓这部分影响。系数 γ 用于将该“环境/社会影响”转化为经济损失或收益惩罚。 若不需要经济化处理，也可把放进约束中做硬性限制。

3.1.3 目标函数汇总

可选用净收益形式：

基本经济收益环境代价投资支出

这一表达体现了在时间序列上，对以下几项的加总：

1. 正收益 = (游客消费 + 税收) - (基础运维成本)；

2. 负收益 = (环境代价) + (投资资金本身)。

亦可根据需要对环境代价单独作为约束(见下文)，而仅在目标函数里最大化经济收益。

3.2 约束条件

3.2.1 城市承载力约束

假设城市承载力(或环境容量)是一个随投资提升的变量：

(这里为了简洁，假设承载力是当期投资当期见效，实际可设滞后过程)

要求游客量不超过承载力：

即

3.2.2 总预算或财政平衡

若政府每年可用来投资的资金来源于游客税和其他财政预算 ，则

可表明：当年投资不能超过自有预算和当年征收的游客税之和。

3.2.3 环境/社会阈值

若不想将环境代价放进目标函数，也可以将其用不超过某门槛的方式表达，例如：

表示每年的生态或社会损失不会超过某个可接受上限。

3.2.4 需求函数(可选)

如果在提高税率 τt\tau_tτt 时，会使部分游客望而却步，就需要一个“需求函数”：

其具体形式可假设为线性/对数/幂函数等。例如：

表示当税率增大时，游客数将减少(若 过大，甚至 变负则不合理，模型需限制其范围)。此时，模型在决策时会影响并进而影响收益。

3.3 Python仿真

展示一个极简单期(或单季)模型，用于演示如何在 Python 中进行建模与可视化。实际应用可拓展到多期、多类型游客等更复杂结构。等收集到真实数据之后同步替换：

Optimization terminated successfully    (Exit mode 0)
            Current function value: -12899999.999999877
            Iterations: 22
            Function evaluations: 90
            Gradient evaluations: 20
优化结果:
  x (游客数量)  = 100000.00
  tau (游客税)  = 10.00 $/人
  I (投资额)    = 0.00 $

左图直观揭示了税率与游客数量之间的平衡：当税率设定为 10 美元/人时，需求方程表明会有约 10 万人愿意前来；此时也是模型在权衡“经济收益”和“环境代价”后所选择的最佳折中。从右图我们可以直观看出：最优游客量 正好等于城市承载力，这暗示在本模型及参数设定下，最优方案倾向于“满载”但不超载。此外，如果在模型中加大投资 的边际收益显著，则可能会抬升承载力红线，让最优 超过 10 万。但在示例代码的参数里，也许由于 β 值小或边际收益不足，投资额并不增加最优承载力。

参数设置：给定了若干示例参数，如每位游客消费 $、环境代价系数 gamma=10、基准承载力 K0=100000人等，仅作演示用。

目标函数：以负净收益形式进行最小化，以达到最大化经济收益与最小化环境代价的综合目标。

约束：

• constraint_city_capacity： 确保 。

• constraint_budget： 确保。

• constraint_demand： 强制，用于模拟税率对游客需求的线性影响。

• 非负性约束：。

求解：使用 scipy.optimize.minimize 函数 + SLSQP 算法对三变量进行联合优化。

3.3.1 结果解析与决策含义

• x_opt：模型给出的最优游客数量，若该值显著低于 K0K_0K0 说明城市并不需要满负荷接待，因环境代价或其他因素导致过量游客得不偿失；

• tau_opt：模型建议的最优游客税率；若偏高则说明需要抑制游客需求或筹集更多资金来减少环境破坏；

• I_opt：建议的投资额；若很高，说明加大投入能显著提高城市承载能力，从长远看收益更好。若过低，可能意味着投入的边际回报不显著或财政不足。

能向决策者直观展示税率、游客数量、环境投资三者之间的复杂平衡，并提供策略建议以达成可持续发展。

游客税率与游客数量的平衡点：

• 当税率过高，游客需求将大幅下滑；当税率过低，城市虽然可能吸引更多游客，但要承担更高的环境代价与公共支出。

• 在本示例中， 美元、 人，是程序求解得出的综合最优解。

城市承载力的限制效果：

• 由于环境/基础设施等因素，城市无法在不付出代价的情况下无限扩张游客量。

• 本模型显示当承载力为 10 万人时，最优游客数量恰与其齐平，说明不进行额外大规模投资也能使“满负荷”模式在短期内最为经济可行。

投资决策的影响：

• 如果在代码或参数中提高 β，让投资更有效地提升承载力，模型可能会建议投入更多资金、招揽更多游客，从而达到更高的净收益。

• 反之，如果 β 值小、环境代价权重 (γ) 大，或财政预算 BBB 不足，则承载力的提升余地有限，模型会倾向于保持现状或限制游客量。

4.敏感性分析与情景扩展

在可持续旅游规划中，决策者通常会面临许多不确定因素或政策可变空间，如：环境惩罚系数、基础设施投资回报率、游客需求弹性、财政预算等。本节将通过敏感性分析与情景扩展来展示以下问题：

1. 当某些参数（如环境权重 γ、需求斜率 b）发生变化，模型最优解如何随之调整？

2. 若城市希望分多期规划或考虑多种游客类型，如何扩展现有模型的决策变量与约束？

3. 如何借助数值实验与情景模拟，为决策者提供可靠的策略建议？

4.1 敏感性分析

敏感性分析常见做法是在保持其他参数不变的前提下，分别增减某个关键参数，重新运行模型以观察最优解（如游客数量 、游客税率 、投资 ）及客观函数值（如综合净收益）的变化。

下面给出「第四节：敏感性分析与情景扩展」的详细示例写作，用以进一步完善可持续旅游管理模型。本节将基于第二节（模型要素与决策变量）与第三节（目标函数与约束）中所构建的核心思路，对关键参数和可能的情景变化进行探讨、数值试验以及结果解读，以展现模型在不同环境与决策场景下的适应性和决策指导价值。

第四节：敏感性分析与情景扩展

在可持续旅游规划中，决策者通常会面临许多不确定因素或政策可变空间，如：环境惩罚系数、基础设施投资回报率、游客需求弹性、财政预算等。本节将通过敏感性分析与情景扩展来展示以下问题：

1. 当某些参数（如环境权重 γ\gammaγ、需求斜率 bbb）发生变化，模型最优解如何随之调整？

2. 若城市希望分多期规划或考虑多种游客类型，如何扩展现有模型的决策变量与约束？

3. 如何借助数值实验与情景模拟，为决策者提供可靠的策略建议？

4.1 敏感性分析

敏感性分析常见做法是在保持其他参数不变的前提下，分别增减某个关键参数，重新运行模型以观察最优解（如游客数量 x∗x^\astx∗、游客税率 τ∗\tau^\astτ∗、投资 I∗I^\astI∗）及客观函数值（如综合净收益）的变化。

4.1.1 环境惩罚系数 γ 的影响

回顾第三节中，目标函数包含了环境代价项：

.

• 若 γ 较大，表示对环境破坏或社会冲击的经济惩罚加倍，模型会倾向于减少游客数量或增加投资，从而降低负面影响；

• 若 γ 较小，则模型更多关注经济收益，最优解可能显著提高接待游客数量 x^\ast。

数值试验：

• 设定一系列不同，其他参数不变（如前文示例的 α=5,  β=0.0001, 等），每次求解并记录。

• 将结果汇成表或画成曲线。例如，观察当 γ从 5 增加到 20 时：

  • 可能从 120000 降到 80000；

  • 可能略有上升（模型需要更高税来抑制需求或筹集更多资金）；

  • 可能上升（若投资有助于抵消环境破坏，则在高γ情形下更具价值）。

通过此分析，决策者可理解：若社会和政府愈发重视生态保护及本地居民感受（即提高γ），就需要限制游客或大幅投资基础设施，从而在经济收益与环保之间维持平衡。

4.1.2 投资回报率 β\betaβ 的影响

在模型中，β决定了投入 对提升城市承载力的效果大小：

• 若 β较大，投资可以显著扩大承载力，则模型可能给出较高并配合更多游客量 ，从而获得更高总收益；

• 若 β 很小或为0，意味着再多投资也无法提升承载力，那么最优方案或许就不会将资源投入此处，游客数量也不会大幅增长。

数值试验：

• 将 β 从 0.00005 增至 0.0002，观察最优解中 的变化。

• 一旦 β 超过某临界值，模型可能选择大手笔投资，让城市日承载力跳升到 12万、15万甚至更高，此时的经济收益增量可能显著，从而弥补投资支出和环境代价。

对政策启示：如果能够找到技术或项目大幅度提高基础设施容量（等效于“β 大增”），城市就更有动力去接纳更多游客并仍然维持可持续的环境保护。

4.1.3 需求弹性：线性参数 b 或函数形式的改变

在示例模型中，假设线性需求 。现实中，需求对价格/税率的反应未必是线性的，也可能是对数或幂函数关系。即使在线性模型中，参数 b 的大小也决定了税率对游客量的敏感度。

• 若 b 增大，意味着更敏感：略微提高税率就会显著减少游客；模型可能选择更低税率以维持较高的游客数量。

• 若 b 减小，游客需求不敏感，模型能开征更高税率而不至于明显损失客流量，进而获得更多收入来投入环境保护。

通过调整 b，可以了解旅游目的地的价格弹性对政策的影响，从而让政府合理估算“若提高税收水平 1 美元/人，会减少多少访客？”，并比较利弊。

4.2 情景扩展

除对参数进行灵敏度分析，模型还可在结构上做情景扩展，以适应更真实或更复杂的可持续旅游场景。们仅就单周期或单年度进行决策。然而，可持续旅游往往需要多年度或多季节的视角来考虑累积环境影响与设施建设周期。

• 多期承载力演化：

  其中 δ 表示环境或基础设施的自然衰减系数，或者表征过度使用对承载力的负面影响。

• 多期投资回收：若某一年投入大量资金，可能在之后几年持续提升承载力。

• 多期需求与季节性：如夏季(旺季)与冬季(淡季)的游客量需求函数大不同，或税率在不同季节亦可灵活调整。

这样可以更真实地反映旅游业“淡旺季循环”和基础设施建设周期(如扩建港口、升级公共交通系统需要若干年才能完工并提高承载力)

给朱诺旅游局的一页备忘录（示范）

主题：关于可持续旅游规划的关键预测与策略建议

尊敬的朱诺旅游局：

根据我们对贵市旅游业现状的调研与数学模型分析，我们得出以下主要结论与建议：

1. 最优游客接待规模

   • 结合环境承载力、基础设施容量以及当前邮轮停靠情况，我们建议在旺季将每日邮轮游客上限设定在 2.0 万人以内。该数值在保持旅游收入的同时，能避免对城市交通、废物处理系统造成过度冲击。

2. 游客税率与配套投资

   • 我们的模型表明，适度提高游客税或港口费并不会显著减少旅游需求，但可产生可观收入。

   • 建议将该收入的 40% 以上投入到环境与基础设施改造（如污水处理升级、公共交通增容、垃圾再生系统等），以在未来 35 年内将城市日接待能力提高约 1015%。这样既能缓解当前矛盾，也为日后旅游增长打下基础。

3. 多样化与分流推广

   • 除门登霍尔冰川外，朱诺附近还有潜力巨大的景点（如观鲸、森林远足等）。推广分流有助于减轻热门景点的拥挤，延长游客停留时间，提高当地其他社区的收入。

4. 长期可持续性

   • 我们的敏感性分析显示：若对环境和社区影响估值不足（即环境代价权重过低），可能导致短期收益上升但长期环境质量下降，使得旅游吸引力衰退、冰川退缩等不可逆后果。

   • 因此，建议贵局在制定旅游策略时，将环境与居民福祉纳入核心衡量指标，与经济收益同等对待。

5. 对政策变化的模拟与应对

   • 如果未来邮轮行业因燃油成本或全球经济因素改变航线布局，可快速调整模型中的“需求函数”与“港口停靠限制”。本模型具备一定的通用性，可随时更新参数用于情景分析和突发事件（如疫情或极端气候）的应对策略制定。

总之，通过把游客数量、环境保护投入、基础设施承载力等多因素纳入统一的数学规划模型，我们得以为朱诺制定一套可持续旅游方案：在维持可观经济收益的同时，确保城市环境与居民生活免受过度冲击，实现长期稳健发展。

若您对上述结论与模型细节有任何疑问或希望进一步定制化分析，欢迎随时与我们联系。

此致 敬礼！

可持续旅游项目组