排列组合问题三——插板法

默认分类 2009-09-15 11:29 阅读248 评论0 字号： 大大 中中 小小

前面，介绍了元素排序问题的四种常见考点，今天开始我介绍排列组合的第二大类问题，即元素分组问题。

元素分组又分为相同元素分组和不相同元素分组这两类问题。对于相同元素分组来说，如果是相同元素分到相同的组里，问题就变的没有意义，公考中也不会涉及到。那么对于相同元素分到不同的组里，一般我们就用插板法来解决。

【基本题型】

有n个相同的元素，要求分到m组中，并且要求每组中至少有一个元素问有多少种分法？

【基本解题思路】

将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

【基本题型例题】

【例1】 共有10完全相同的球分到7个班里，要求每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法？

解析一：我们首先用常规方法。若想将10个球分到7个班里，球的分法共三类：

第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。这样，第一步，我们从7个班中选出3个班，每个班分2个球；第二步，从剩下的4个班中选4个班，每班分1球。其分法种数为 ：C（7&#