任务详解：

1、掌握内积，正交，线性相关，线性无关的概念
2、掌握规范正交基，正交矩阵
3、掌握特征值特征向量的几何意义与算法

1.向量的内积和范数

向量的内积以及正交性

定义1:

设有n维向量(如果不做特殊说明，n维向量都是指列向量)

[x，y]称为向量x与y的内积(或者叫点积，elementwise).
内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵记号表示，当x与y都是列向量时，有
$$[x,y]=x^{T}y=y^{T}x$$
有时候也记做：<x,y>

还有一个重要性质：柯西不等式
$$[x,y{]}^2\le [x,x][y,y]$$

由以上性质加上我们中学在二维空间里面向量夹角的概念，我们可以推广到高维空间，也可以用来衡量高维空间中两个样本的相似度的一种度量（不同于欧式距离）。

定义2

令
$$||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$$
$||x||$称为n维向量x的长度或者范数或者模长
当$||x||=1$时，称x为单位向量。
向量的长度具有下述性质：
（i）非负性：当x≠0时，$||x||>0$；当x=0时，$||x||=0$；
（i）齐次性：$|\lambda x|=|\lambda |||x||$；右边的实数外面是绝对值
（ii）三角不等式：$||x+y||\le ||x||+||y||$。
当[x，y]=0时，称向量x与y正交（二维上看就在垂直关系）.显然，若x=0，则x与任何向量都正交。

定理1：若n维向量$a_1,a_2,\dots ,a_n$是一组两两正交的非零向量（$[a_i,a_j]=0,i\ne j$），则$a_1,a_2,\dots ,a_n$线性无关.
以下是百度百科中的线性无关定义：
在向量空间V的一组向量A: $a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_m$如果存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdot \cdot \cdot ,k_m$ , 使
$$k_1{a}_1+k_2{a}_2+...+k_m{a}_m=0$$
则称向量组A是线性相关的 ，否则数 $k_1,k_2,\cdot \cdot \cdot ,k_m$全为0时，称它是线性无关。
由此定义看出 是否线性相关，就看是否存在一组不全为零的数 $k_1,k_2,\cdot \cdot \cdot ,k_m$使得上式成立。
定理1证明：
在式子$k_1{a}_1+k_2{a}_2+...+k_m{a}_m=0$的左右两边同时点乘$a_1$得
$k_1[a_1,a_1]+k_2[a_2,a_1]+...+k_m[a_m,a_1]=0$
由于$a_1,a_2,\dots ,a_m$两两正交，因此：$[a_2,a_1]=0,...[a_m,a_1]=0$
$k_1[a_1,a_1]=0$，由条件可知$a_1$是非零向量，[a_1,a_1]≠0，
因此$k_1=0$，同理$k_2=0,\cdot \cdot \cdot ,k_m=0$
$a_1,a_2,\dots ,a_n$线性无关.得证。

定义3

设n维向量$e_1,e_2,\dots ,e_r$，是向量空间$V(V\subset R^n)$的一个基，如果$e_1,e_2,\dots ,e_r$两两正交，且都是单位向量，则称$e_1,e_2,\dots ,e_r$是V的一个规范正交基。例如：

就是$R^4$的一个规范正交基.
若$e_1,e_2,\dots ,e_r$是V的一个规范正交基，那么V中任一向量a应能由$e_1,e_2,\dots ,e_r$线性表示，设表示式为
$$a={\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2+,\dots ,+{\lambda }_r{e}_r$$
$${\lambda }_r=[a,e_r]$$

定义4

如果n阶矩阵A满足
$$A^{T}A=E,即A^{-1}=A^T$$
那么称A为正交矩阵，简称正交阵。
上式用列向量表示，即是
$$\left[\begin{array}{c}{a}_1^T\\ a_2^T\\ ⋮\\ a_n^T\end{array}\right](a_1,a_2,\cdots ,a_n)=E$$
因为$A^{T}A=E$与$A{A}^T=E$等价，所以上述结论对A的行向量也成立。
由此可见，你、阶正交阵A的n个列（或者行）向量构成的向量空间${\Re }^n$的一个规范正交基。

判定矩阵A可逆的小结

1、A的行列式不等于0
2、A的秩等于A的维度n
3、$a_1,a_2,\dots ,a_n$线性无关

2.特征值特征向量以及矩阵的相似

方阵的特征值与特征向量

定义6

设A是n阶矩阵，如果数λ和μ维非零列向量x使下面关系式成立，
$$Ax=\lambda x$$
那么，这样的数λ称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
人话版本（物理意义）：刚开始讲矩阵的时候，讲过矩阵的本质是对应线性变换，如果从线性变换的角度看待这个问题，那么就是：现在我们有一个可以做线性变换的矩阵A，如果有一个向量x（注意不是变量），通过这个矩阵进行线性变换（就是乘上A）后的到$\tilde{x}$相对于原来的x方向不变，仅仅是大小变化而已（变大了λ倍），（说明这个x还蛮特殊的，一般的向量经过线性变换后大小方向都会变化）那么就把这个特殊的x叫做A的特征向量，变大的倍数λ称为特征值。
如果给我们一个A，如何来求特征值λ和特征向量x呢？就是把上面的公式$Ax=\lambda x$解方程，把x提取出来，x向量提取出来后，还剩下单位向量E，变成下面的公式：
$$(A-\lambda E)x=0$$
根据之前学过的克莱姆法则（如果$Ax=0$有非零解，则|A|=0,如果是|A|≠0则方程只有唯一解，那么x只能=0），则要使得上面的式子要有非零解的充分必要条件是$|A-\lambda E|=0$：
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right|=0$$
把上面的式子看做是关于λ的方程$f(\lambda )=0$
(i)${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$
(II)${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=|A|$
设$\lambda ={\lambda }_i$为矩阵A的一个特征值，则由方程
$$(A-{\lambda }_{i}E)x=0$$
可求得非零解$x=p_i$，那么$p_i$便是A的对应于特征值${\lambda }_i$的特征向量。
例子：求矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right]$的特征值和特征向量。
解：先求$|A-\lambda E|=\left|\begin{array}{cc}3-\lambda & -1\\ -1& 3-\lambda \end{array}\right|=(3-\lambda {)}^2-1=0$
$3-\lambda =\pm 1$求得两个特征值：${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=4$
分两步
第一步求${\lambda }_1=2$对应的特征向量，解下面方程
$$(A-{\lambda }_{1}E)x_1=0$$
$$\left[\begin{array}{cc}3-{\lambda }_1& -1\\ -1& 3-{\lambda }_1\end{array}\right]x_1=0$$
$$\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{11}\\ x_{12}\end{array}\right]=0$$
解得：$x_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$归一化后得：$x_1=\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$
第一步求${\lambda }_1=4$对应的特征向量，解下面方程
$$(A-{\lambda }_{1}E)x_2=0$$
$$\left[\begin{array}{cc}3-{\lambda }_2& -1\\ -1& 3-{\lambda }_2\end{array}\right]x_2=0$$
$$\left[\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{21}\\ x_{22}\end{array}\right]=0$$
解得：$x_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$归一化后得：$x_2=\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$
再看一例：
求矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ -4& 3& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right]$的特征值和特征向量。
解：A的特征多项式为
$|A-\lambda E|=\left|\begin{array}{ccc}-1-\lambda & 1& 0\\ -4& 3-\lambda & 0\\ 1& 0& 2-\lambda \end{array}\right|=(3-\lambda {)}^2-1=(2-\lambda )(1-\lambda {)}^2$
所以A的特征值为${\lambda }_1=2,{\lambda }_2={\lambda }_3=1$
当${\lambda }_1=2$时，解方程$(A-2E)x=0$.由

得基础解系：$p_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$
所以$k{p}_1(k\ne 0)$是对应于${\lambda }_1=2$的全部特征向量。
另外一组解：
当${\lambda }_2={\lambda }_3=1$时，解方程$(A-2E)x=0$.由

得基础解系：$p_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 1\end{array}\right]$
所以$k{p}_2(k\ne 0)$是对应于${\lambda }_2={\lambda }_3=1$的全部特征向量。
由于有重根，所以只要两个特征向量

例8设$\lambda$是方阵A的特征值，证明
（1）${\lambda }^2$是$A^2$的特征值；
（2）当A可逆时，$\frac{1}{\lambda }$是$A^{-1}$的特征值.
证明（1）：由$\lambda$是方阵A的特征值可知：$Ax=\lambda x$
$A^{2}x=\lambda Ax={\lambda }^{2}x$
以此类推：$A^n$的特征值为${\lambda }^n$，特征向量为x
n可以为负数，例如$A^{-2}$的特征值为${\lambda }^{-2}$
证明（2）：由$\lambda$是方阵A的特征值可知：$Ax=\lambda x$，两边同时乘以A的逆矩阵得：
$x=\lambda A^{-1}x$，两边同时除以$\lambda$得
$\frac{1}{\lambda }x=A^{-1}x$，即$A^{-1}x=\frac{1}{\lambda }x$，根据特征值的定义可知：
$\frac{1}{\lambda }$是$A^{-1}$的特征值，特征向量为x
再推广：如果$\lambda$是方阵A的特征值，那么$f(\lambda )$是方阵$f(A)$的特征值。
例子：设3阶矩阵A的特征值为1，-1,2，求$A^2+3A-2E$的特征值。
解：把A的特征值1，-1,2分别代入上式
$$1^2+3\ast 1-2=2$$
$$(-1{)}^2+3(-1)-2=-4$$
$$2^2+3\ast 2-2=8$$
$A^2+3A-2E$的特征值为2，-4,8