7-10 公路村村通 (30分)

现有村落间道路的统计数据表中，列出了有可能建设成标准公路的若干条道路的成本，求使每个村落都有公路连通所需要的最低成本。

输入格式:
输入数据包括城镇数目正整数N（≤1000）和候选道路数目M（≤3N）；随后的M行对应M条道路，每行给出3个正整数，分别是该条道路直接连通的两个城镇的编号以及该道路改建的预算成本。为简单起见，城镇从1到N编号。

输出格式:
输出村村通需要的最低成本。如果输入数据不足以保证畅通，则输出−1，表示需要建设更多公路。

思路：这道题是最小生成树问题，这里采用prim算法
首先明确最小生成树定义
我们把构造连通网的最小代价生成树成为最小生成树
要和最短路径区分开来
最小生成树能够保证整个拓扑图的所有路径之和最小，但不能保证任意两点之间是最短路径。
最短路径是从一点出发，到达目的地的路径最小。
最小生成树构成后所有的点都被连通，而最短路只要到达目的地走的是最短的路径即可，与所有的点连不连通没有关系。
再来介绍 Prim 算法
假设N=（V,{E}）是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合，算法从U={u0}(u0∈ V),TE={}开始。重复上述操作：在所有u∈ U,v∈ V-U的边（u，v)∈ E中找一条代价最小的边（u0，v0)并入集合TE,同时v0并入U,直至U=V为止。此时TE必有n-1条边，则T=(V,{TE})为N的最小生成树

总体来说Prim算法类似于迪杰斯特拉算法，从选定一个根结点开始，使树不断长大，每次寻找离最小生成树最近的路径，将其收录进来，并且将收录顶点到生成树的距离更改为0，即lowcost[k]=0,然后继续循环寻找离最小生成树最短的路径

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

#define MAXVEX 1003
#define INFINITY  65535

void CreateGraph( );
int  Prim();

int G[MAXVEX][MAXVEX],Nv,Ne;

int main()
{
    int f = 0;

    scanf("%d %d",&Nv,&Ne);
    CreateGraph();
    f =Prim();
    printf("%d",f);

    return 0;
}

void CreateGraph()
{
    //用邻接矩阵表示图
    int i,j;
    int v1,v2,weight;

    for( i=1; i<=Nv; i++)
    {
        for( j=1; j<=Nv; j++)
        {
            G[i][j] = INFINITY;  //初始化
        }
    }

    for( i=0; i<Ne; i++)  //注意这里是读入边
    {
        scanf("%d %d %d",&v1,&v2,&weight);
        G[v1][v2] = weight;         //读入权值
        G[v2][v1]= G[v1][v2];  //无向图对称
    }
}


int  Prim()
{
    int min;
    int i,j,k;
    int adjvex[MAXVEX];//保存相关顶点下标
    int lowcost[MAXVEX];//保存相关顶点间边的权值
    int sum_cost =0;


    lowcost[1] = 0;   //初始化第一个权值为0,即v1加入生成树,因为编号从1到N
    adjvex[0]=1;//初始化第一个顶点下标为1

    for( i=2; i<=Nv; i++)//循环除下标为1的外的全部顶点
    {
        lowcost[i] = G[1][i];//将v1顶点与之有边的权值存入数组 即读取邻接矩阵v1行
        adjvex[i]=1;//初始化都为v1的下标
    }

    for( i=2; i<=Nv; i++)
    {
        min = INFINITY;
        j = 1;
        k = 0;
        while( j<=Nv )//循环全部顶点
        {
            if( lowcost[j]!=0 && lowcost[j]<min)
            {   //如果权值不为0且权值小于min
                min = lowcost[j]; 
                k = j;   //将当前最小值的下标存入k
            }
            j++;
        }

        if(k==0)
        {
            return -1;  //不连通
        }
        sum_cost += min;
        lowcost[k] = 0;   //将当前顶点设置为0，表示此结点已经完成任务

        for( j=2; j<=Nv; j++)
        {
            if( lowcost[j]!=0 && G[k][j]<lowcost[j])
            {
                //若下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树的权值
                lowcost[j] = G[k][j];
                adjvex[j]=k; //将下标为k的顶点存入adjvex
            }
        }

    }

    return sum_cost;
}