证明 E ( X T ) = E ( X ) T E(\pmb{X}^{\text{T}})=E(\pmb{X})^{\text{T}} E(XT)=E(X)T
《机器学习数学基础》 第 343 页，有这样一句话：
对于多维随机变量 X \pmb{X} X ，根据数学期望的定义，有： E ( X T ) = E ( X ) T E(\pmb{X}^{\text{T}})=E(\pmb{X})^{\text{T}} E(XT)=E(X)T 。
有读者反应，希望能给出有关证明。
证明过程见下。
证明：
随机变量 X \pmb{X} X 是一个向量，于是数学期望可以写成：
E ( X ) = ( E ( X 1 ) E ( X 2 ) ⋮ E ( X n ) ) E(\pmb{X}) =\begin{pmatrix} E(X_1)\\E(X_2)\\\vdots \\E(X_n)\end{pmatrix} E(X)= E(X1)E(X2)⋮E(Xn)
其中， X i X_i Xi 是 X \pmb{X} X 的第 i i i 个分量。
X \pmb{X} X 的转置 X T \pmb{X}^{\text{T}} XT ，如果用分量的形式，可以将 X \pmb{X} X 写成： X = ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) T \pmb{X}=(X_1,X_2,\cdots,X_n)^{\text{T}} X=(X1,X2,⋯,Xn)T ，也就是有： X T = ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) \pmb{X}^{\text{T}}=(X_1,X_2,\cdots,X_n) XT=(X1,X2,⋯,Xn) 。于是：
E ( X T ) = ( E ( X 1 ) E ( X 2 ) … E ( X n ) ) E(\pmb{X}^\text{T}) = \begin{pmatrix} E(X_1) & E(X_2) & \dots & E(X_n) \end{pmatrix} E(XT)=(E(X1)E(X2)…E(Xn))
再对 E ( X ) E(\pmb{X}) E(X) 求转置，则得到：
E ( X ) T = ( E ( X 1 ) E ( X 2 ) ⋮ E ( X n ) ) T = ( E ( X 1 ) E ( X 2 ) … E ( X n ) ) E(\pmb{X})^\text{T} = \begin{pmatrix} E(X_1) \\ E(X_2) \\ \vdots \\ E(X_n) \end{pmatrix}^\text{T} = \begin{pmatrix} E(X_1) & E(X_2) & \dots & E(X_n) \end{pmatrix} E(X)T= E(X1)E(X2)⋮E(Xn) T=(E(X1)E(X2)…E(Xn))
比较上述两个式子，于是得到结论：
E ( X T ) = E ( X ) T E(\pmb{X}^{\text{T}})=E(\pmb{X})^\text{T} E(XT)=E(X)T
证毕。