灯泡开关问题

初始时有 n 个灯泡处于关闭状态。

对某个灯泡切换开关意味着：如果灯泡状态为关闭，那该灯泡就会被开启；而灯泡状态为开启，那该灯泡就会被关闭。

第 1 轮，每隔个灯泡切换一次开关。即，打开所有的灯泡。

第 2 轮，每隔两个灯泡切换一次开关。即，每两个灯泡关闭一个。

第 3 轮，每隔三个灯泡切换一次开关。

第 i 轮，每 i 个灯泡切换一次开关。而第 n 轮，你只切换最后一个灯泡的开关。

找出 n 轮后有多少个亮着的灯泡。

来源：力扣（LeetCode）
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输入：n = 3
输出：1
解释：
初始时, 灯泡状态 [关闭, 关闭, 关闭].
第一轮后, 灯泡状态 [开启, 开启, 开启].
第二轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 开启].
第三轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 关闭].

你应该返回 1，因为只有一个灯泡还亮着。

分析：如下图，行表示round数，列表示对应的灯泡位置

我们细心分析可以知道，灯泡n被switch 奇数次，它是亮的，否则它是暗的

那么怎么判断灯泡n被switch的次数呢？

我们先分析灯泡n会被多少round选中，由于第x round选灯泡的规则是 x*1 、 x*2 、 x*3 ... ，所以，只要x是n的因子，n就会被选中

那就是说，1～n有多少个因子，灯泡n就会被switch多少次；n有奇数个因子，灯泡n就会亮

怎么计算n有多少个因子呢？

假设 $n=\prod_{i}p_{i}^{a_{i}}$ , （也就是把n分解成质数相乘），而因数个数f(x)可以定义为 $f(x) = \prod_{i}(a_{i}+1)$ ，因为奇数*奇数=奇数, 所以只要 ai是偶数，f(x)就是奇数；而当n能开完全平方的时候，其对应的ai全部都是偶数。

所以问题就转化为1～n中有多少个数能开完全平方，答案是有 $\sqrt{n}$ 个

灯泡开关问题

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