初始时有 n 个灯泡处于关闭状态。
对某个灯泡切换开关意味着:如果灯泡状态为关闭,那该灯泡就会被开启;而灯泡状态为开启,那该灯泡就会被关闭。
第 1 轮,每隔个灯泡切换一次开关。即,打开所有的灯泡。
第 2 轮,每隔两个灯泡切换一次开关。 即,每两个灯泡关闭一个。
第 3 轮,每隔三个灯泡切换一次开关。
第 i 轮,每 i 个灯泡切换一次开关。 而第 n 轮,你只切换最后一个灯泡的开关。
找出 n 轮后有多少个亮着的灯泡。
来源:力扣(LeetCode)
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输入:n = 3
输出:1
解释:
初始时, 灯泡状态 [关闭, 关闭, 关闭].
第一轮后, 灯泡状态 [开启, 开启, 开启].
第二轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 开启].
第三轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 关闭].你应该返回 1,因为只有一个灯泡还亮着。
分析:如下图,行表示round数,列表示对应的灯泡位置
我们细心分析可以知道,灯泡n被switch 奇数次,它是亮的,否则它是暗的
那么怎么判断灯泡n被switch的次数呢?
我们先分析灯泡n会被多少round选中,由于第x round选灯泡的规则是 x*1 、 x*2 、 x*3 ... ,所以,只要x是n的因子,n就会被选中
那就是说,1~n有多少个因子,灯泡n就会被switch多少次;n有奇数个因子,灯泡n就会亮
怎么计算n有多少个因子呢?
假设 , (也就是把n分解成质数相乘),而因数个数f(x)可以定义为
,因为奇数*奇数=奇数, 所以只要 ai是偶数,f(x)就是奇数;而当n能开完全平方的时候,其对应的ai全部都是偶数。
所以问题就转化为1~n中有多少个数能开完全平方,答案是有 个