决策树先验知识

熵

• 熵表示随机变量的不确定性，熵越大，随机变量的不确定性越大，数学表达式为：

$$H(p)=-\sum _{i=1}^n{p}_{i}log(p_i)$$

• 假设$n=2$，则$H(p)$变为：

$$H(p)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)$$

• 在机器学习中，为了表达的统一性，将熵的数学公式变为：

$$H(D)=-\sum _{k=1}^k\frac{|C_k|}{|D|}lo{g}_2\frac{|C_k|}{|D|}$$

其中，$C_k$表示列$C$（标签列）的第$k$个取值，$|C_k|$表示列$C$的第$k$个取值的样本数，|D|则表示全部样本数量。

• 假设要计算下面这个数据集的熵：

• 可以看到，类别列就是标签列，一共有2种取值，假设$C_1=\text{是}$，$C_2=\text{否}$，则$H(D)$为：

$$H(D)=-\frac{9}{15}lo{g}_2(\frac{9}{15})-\frac{6}{15}lo{g}_2(\frac{6}{15})$$

条件熵

• 条件熵数学表达式：

$$H(Y|X)=\sum _{i=1}^n{p}_{i}H(Y|X=x_i)$$

其中：
$$p_i=P(X=x_i)$$

• 变为机器学习中的通用表达式：

$$H(D|A)=\sum _{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}H(D_i)=-\sum _{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}\sum _{k=1}^k\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}lo{g}_2\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}$$

其中，$n$表示特征$A$可能取值的个数，$|D_i|$则表示特征A取第$i$个值时的样本个数，$|D|$表示全部数据的样本数。$k$表示标签列的可能取值的个数，$|D_{ik}|$表示特征A取第i个值时，标签列取第k个值时的样本个数。

• 还是以上面的数据集为例

• 假设现在特征$A$代表年龄，$i=1$表示青年，$i=2$表示中年，$i=3$表示老年；对于标签列，$k=1$表示是，$k=2$表示否，则$H(D|A)$为：

$$H(D|A)=-[\frac{5}{15}\times (\frac{2}{5}lo{g}_2\frac{2}{5}+\frac{3}{5}lo{g}_2\frac{3}{5})+\frac{5}{15}\times (\frac{3}{5}lo{g}_2\frac{3}{5}+\frac{2}{5}lo{g}_2\frac{2}{5})+\frac{5}{15}\times (\frac{4}{5}lo{g}_2\frac{4}{5}+\frac{1}{5}lo{g}_2\frac{1}{5})]$$

信息增益

• 信息增益（互信息）定义为：

$$g(D,A)=H(D)-H(D|A)$$

其中$D$是数据集，$A$是数据集中的某个特征

• 根据信息增益准则，特征选择方法是：
  • 对训练数据集D，计算其每个特征的信息增益
  • 选择信息增益最大的特征
• 信息增益算法一般步骤：
  • 计算数据集$D$的经验熵$H(D)$

$$H(D)=-\sum _{k=1}^k\frac{|C_k|}{|D|}lo{g}_2\frac{C_k}{D}$$

• 计算特征$A$对数据集$D$的经验条件熵$H(D|A)$

$$H(D|A)=\sum _{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}H(D_i)=-\sum _{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}\sum _{k=1}^k\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}lo{g}_2\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}$$

• 计算信息增益

$$g(D,A)=H(D)-H(D|A)$$

ID3算法

• 在决策树递归构建过程中，使用信息增益的方式进行特征选择
• 决策树生成过程：
  • 从根节点开始计算所有特征的信息增益，选择信息增益最大的特征作为特征作为节点特征。
  • 对子节点递归调用上述方法，构建决策树
  • 特征信息增益很小或没有特征可以选择时递归结束得到决策树

C4.5算法

• C4.5算法是对ID3算法的改进，包括
  • 处理连续值属性：ID3算法主要用于处理离散属性，而C4.5能够直接处理连续值属性，通过寻找最佳切分点来将连续值属性转换为二元特征。
  • 缺失值处理：ID3算法无法处理包含缺失值的数据集。C4.5算法提供了一种方法来估算缺失值，并且可以忽略那些特定实例中缺失值的属性。
  • 剪枝技术：ID3算法没有提供对过拟合问题的有效解决方案。C4.5引入了预剪枝和后剪枝技术以减少过拟合的风险，从而提高模型的泛化能力。
  • 多输出类别：C4.5可以处理具有多个类别的分类任务，而不仅仅局限于两个类别。
  • 信息增益比：ID3使用信息增益作为选择属性的标准，但在某些情况下，信息增益可能偏向于选择具有许多不同值的属性。C4.5使用信息增益比（Gain Ratio）作为分裂标准，它考虑了属性纯度改善与该属性值数量之间的关系，以避免偏好具有大量唯一值的属性。
• C4.5算法在树生成过程中，使用信息增益比来选择特征
• C4.5信息增益比计算公式：

$$\begin{gathered} g_r(D,A)=\frac{g(D,A)}{H_A(D)} \\ {H}_A(D)=-\sum _{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}lo{g}_2\frac{D_i}{D} \end{gathered}$$

其中$n$是特征$A$可能取值的个数

CART算法

• CART算法相较于C4.5算法有一些不同：
  • 连续值处理：CART算法也能够处理连续值属性，它通过寻找最优分割点来将连续值属性转化为二元分割。
  • 二叉树结构：CART算法生成的是二叉树，每个非叶子节点都有两个子节点。这与C4.5不同，后者允许非二叉树结构（即一个节点可以有多个子节点）。
  • 分裂标准：对于分类任务，CART使用基尼不纯度（Gini Impurity）作为分裂标准，而不是C4.5所使用的增益比。对于回归任务，CART使用平方误差作为分裂标准。
  • 剪枝策略：CART算法同样支持剪枝以减少过拟合，但它通常采用成本复杂度剪枝（Cost Complexity Pruning），这是一种系统性的后剪枝方法。
  • 可扩展性和效率：CART算法在处理大型数据集时表现良好，并且在计算效率上有所优化。
• CART算法在树生成过程中，使用基尼指数选择最优特征。生成的是二叉树。
• 设样本点属于第$k$类的概率为$p_k$，则：

$$Gini(p)=\sum _{k=1}^k{p}_k(1-p_k)=1-\sum _{k=1}^k{p}_k^2$$

• 给定样本集合$D$，其基尼指数为：

$$Gini(D)=1-\sum _{k=1}^k{\left(\frac{|C_k|}{D}\right)}^2$$

• 在特征A的条件下，集合D的基尼指数为：

$$Gini(D,A)=\frac{|D_1|}{|D|}Gini(D_1)+\frac{|D_2|}{|D|}Gini(D_2)$$

• 基尼指数越大，样本的不确定性越大，这点与熵相似

ID3算法python代码实现

• 导入必要库

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from tqdm.notebook import tqdm
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import fetch_california_housing, make_regression

• 计算$H(D)$，即整个数据集的熵

# 计算整个数据集的熵
def entropy(data, label):
    row_num, col_num = data.shape
    target = np.sort(data[label].unique())
    h = 0
    for i in target:
        p = data[data[label] == i].shape[0]/row_num
        h = h + p * np.log2(p)
    return -1 * h

• 根据特征以及特征值分割数据集

def split_data_set(data, feature, value):
    data = data.copy(deep=True)
    return data[data[feature] == value].drop(feature,axis=1)

• 选择最优划分特征

def choose_feature(data, label):
    base_entropy = entropy(data, label)
    info_gain = []
    for col in data.columns:
        if col == label:
            continue
        else:
            # 取出当前特征的唯一值
            col_unique = np.sort(data[col].unique())
            temp_entropy = 0
            for u in col_unique:
                sd = split_data_set(data, col, u)
                p = sd.shape[0]/data.shape[0]
                temp_entropy = temp_entropy + p * entropy(sd, label)
            info_gain.append({col:base_entropy - temp_entropy})
    info_gain = sorted(info_gain, key=lambda d: list(d.values())[0], reverse=True)
    return list(info_gain[0].keys())[0]

• 投票结果

def class_vote(data_list):
    data = pd.DataFrame(data_list, columns=['vote'])
    temp = data['vote'].value_counts()
    return temp.index[0]

• 训练决策树

def train_tree(data, label):
    # 数据样本数为1
    if data.shape[0] ==1:
        return class_vote(data[label].tolist())
    # lable列只剩下1个类别
    if data[label].unique().shape[0] == 1:
        return data[label].unique()[0]
    feat = choose_feature(data, label)
    tree = {feat:{}}
    for value in data[feat].unique():
        # 持续划分特征递归构建树
        tree[feat][value] = train_tree(split_data_set(data, feat, value), label)
    return tree

• 决策树预测

def predict(decision_tree, data):
    predictions = []
    for index, row in data.iterrows():
        node = decision_tree
        while isinstance(node, dict):
            feature, children = next(iter(node.items()))
            value = row[feature]
            if value in children:
                node = children[value]
        predictions.append(node)
    return predictions

• 函数调用

data = pd.read_csv('/kaggle/input/studyml/loan_data.csv')
tree = train_tree(data, '类别')
print(tree)
# 打印输出：{'有房子': {'否': {'有工作': {'否': '否', '是': '是'}}, '是': '是'}}

• 预测结果

res = predict(tree, data)
print(res)
# 打印输出：['否', '否', '是', '是', '否', '否', '否', '是', '是', '是', '是', '是', '是', '是', '否']