2-1 实变函数之集合论

1.康托尔(cantor)在十九世纪创立“集合论”。

一些有限集合相关知识在初中高中都学过，在此不再赘述。（包括：集合的定义、运算（交并补等）、特殊的集合（Q,R,Z,N等））

2.集合运算补充

1.德摩根（De Morgn）公式

(1). $(\bigcup _{\alpha \in \bigwedge }{A}_{\alpha }{)}^c=\bigcap _{\alpha \in \bigwedge }{A}_{\alpha }^c$
(2). $(\bigcap _{\alpha \in \bigwedge }{A}_{\alpha }{)}^c=\bigcup _{\alpha \in \bigwedge }{A}_{\alpha }^c$

2.上下极限

(1).上极限：设$A_1,...A_n,...$是任意一列集合，由属于上述集合中无限多个集合的那种元素组成的集合称为上限集或上极限，记：
lim ⁡ n → + ∞ A n — — — — = { x ∣ ∀ N > 0 , 对 于 ∃ n > N , 都 有 x ∈ A n } \overset{————}{\underset{n \to +\infty}{\lim}A_n}=\{x| \forall N>0,对于\exists n>N,都有x\in A_n\} n→+∞lim​An​————​={x∣∀N>0,对于∃n>N,都有x∈An​}
(2).下极限：设$A_1,...A_n,...$是任意一列集合，除有限个下标外属于上述每个集合中的元素组成的元素称为下限集或下极限，记：
lim ⁡ n → + ∞ A n — — — — = { x ∣ ∃ N > 0 , 对 于 ∀ n > N , 都 有 x ∈ A n } \underset{————}{\underset{n \to +\infty}{\lim}A_n}=\{x |\exists N>0,对于\forall n>N,都有x\in A_n\} ————n→+∞lim​An​​={x∣∃N>0,对于∀n>N,都有x∈An​}
显然若x属于下极限必然属于上极限，但属于上极限不一定属于下极限，所以有$\stackrel{————}{\underset{n\to +\infty }{\lim }{A}_n}\supset \underset{————}{\underset{n\to +\infty }{\lim }{A}_n}$，并且上下极限均为无限集合（从这我们可以看出无限集合也是有“大小”的）
定理： (1).$\stackrel{————}{\underset{n\to +\infty }{\lim }{A}_n}=\stackrel{\infty }{\bigcap _{n=1}}\stackrel{\infty }{\bigcup _{m=n}}{A}_m$
(2).$\underset{————}{\underset{n\to +\infty }{\lim }{A}_n}=\stackrel{\infty }{\bigcup _{n=1}}\stackrel{\infty }{\bigcap _{m=n}}{A}_m$
$证明(2)：$设$A=\underset{————}{\underset{n\to +\infty }{\lim }{A}_n},B=\stackrel{\infty }{\bigcup _{n=1}}\stackrel{\infty }{\bigcap _{m=n}}{A}_m,令x\in A，则\exists N>0,对于\forall n>\mathbb{N},都有x\in A_m从而\exists n有x\in \stackrel{\infty }{\bigcap _{m=n}}{A}_m,故x\in B,反之，令x\in B,推得x\in A即可。$

3.单调系列

集列| { A n } \{A_n\} {An​}满足$A_n\subset A_{n+1}(A_n\supset A_{n+1}),n=1,2,...3...$则称为单增（减）集列。
单调集列必有上或下极限，并且从定义能看出单增上极限为$A_n$的并集,单减下极限$A_n$的交集

3.对等与基数

1.对等

通俗的讲，A与B对等则存在A到B的一一映射。记A~B。
例：{正整数全体}~{正偶数全体}
证明：令$\phi =2x$
由上例可以看出，一个无限集（正整数全体）可以和他的真子集（正偶数全体）对等，这一性质常用来作为无限集的定义
注：对等的性质可以结合矩阵等价性质记（绝不等同,只是结合记忆）

2.基数

A~B则说A与B 有相同的基数，记为$\stackrel{=}{A}=\stackrel{=}{B}$
Bernstein定理 : 设A、B非空，若A对等于B的子集，B又对等于A的子集则A~B.(结合包含关系理解，不过此处是无限集合)

4.可数集与不可数集

1.可数集

可数集又称可列集，把集合按一定次序排列，可一直属下去就称为可数集。
定义: \quad 凡和全体正整数所成集合对等的的集合都可称为可数集或可列集。
注：可数的定义告诉我们，可数一定是无限集，而无限集的某子集一定是可数集

几个性质：

1. 令可数集的基数为a(或阿列夫零${\aleph }_0$)
2. 可数集的基数是无限集中最小的基数
3. 可数个可数集的和仍为可数集
4. 有理数全体成一可数集
5. 全体有理数与全体正整数对等（定义）

2.不可数集

不是可数集就是不可数集喽（无限集）
几个性质：

1. 令不可数集的基数为c(或阿列夫$\aleph$)
2. 没有最大的基数
3. 可数个不可数集的和仍不可数（a*c=c）
4. 全体实数成一不可数集