对于相容事件且独立事件

连续掷骰子2次
A: 掷一次骰子点数为1
B: 掷一次骰子点数为2

1. 同时出现的概率,即$P(A\cap B)$:

按照公式计算:$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
$P(A)=\frac{1}{6}$
$P(B)=\frac{1}{6}$
$P(A\cap B)=\frac{1}{36}$

2. 出现任意一个的概率,即$P(A\cup B)$:

法1: 按照公式计算:$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
$P(A\cup B)=\frac{1}{3}-\frac{1}{36}=\frac{11}{36}$
法2: 对于独立事件:任意一个出现的概率即为对立事件同时出现的概率
即:$P(A\cup B)=1-P(A^c)\times P(B^c)$
故而:$P(A\cup B)=1-\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{11}{36}$

对于相容事件且依赖事件

掷骰子1次
A.骰子点数为偶数
B.骰子点数大于等于4. 即456的可能

1. 同时出现的概率,即$P(A\cap B)$:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)或P(A\mid B)\cdot P(B)$
$P(A\mid B)$：在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的条件概率。
$P(B\mid A)$：在事件 A 已经发生的条件下，事件 B 发生的条件概率。

$P(A)$即为偶数的可能,即{1,2,3,4,5,6}中取到{2,4,6},即$P(A)=\frac{1}{2}$
$P(B|A)$即在A已经发生的条件下,发生B的概率,即{2,4,6}中取到{4,6},即$P(B|A)=\frac{2}{3}$
则$P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
可见:

特殊的,对于独立事件

若事件 ( A ) 和 ( B ) 独立，意味着 ( A ) 的发生不影响 ( B ) 的发生（反之亦然）。在这种情况下，条件概率满足：
$$P(B\mid A)=P(B)\text{且}P(A\mid B)=P(A)$$
于是：
$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

2. 出现任意一个的概率,即$P(A\cup B)$:

即{1,2,3,4,5,6}中取到{2,4,5,6}的概率
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

总结公式

交集（Intersection）公式总结

一般情况

两个事件 $A$ 和 $B$ 的交集 $P(A\cap B)$ 的公式为：

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=P(B)\cdot P(A\mid B)$$

特殊情况

1. 独立事件
   如果 $A$ 和 $B$ 是独立事件，则：
   $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

并集（Union）公式总结

一般情况

两个事件 $A$ 和 $B$ 的并集 $P(A\cup B)$ 的公式为：

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

特殊情况

1. 互斥事件
   如果 $A$ 和 $B$ 是互斥事件（即它们不可能同时发生），则：
   $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

2. 独立事件
   如果 $A$ 和 $B$ 是独立事件，则交集的概率为 $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$，因此：
   $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)$$

3. 包含关系
   如果事件 $A$ 完全包含于事件 $B$（即 $A\subseteq B$），则：
   $$P(A\cup B)=P(B)$$

4. 相等事件
   如果 $A=B$，则：
   $$P(A\cup B)=P(A)=P(B)$$