该博客用来做吴恩达深度学习的学习总结归纳。

一、二分分类（Binary Classification）

厘清概念：
在这里，x作为输入端，包含所有信息。y作为输出端，由于这是一个二分分类的问题，所以输出端y的可能性只有两个，在这里以0和1来表示，即y∈{0,1}。而对于不同的输入x(i)，则也会对应不同的输出y(i)。这里的i指的是第i个样本。
X作为矩阵形式，包括多项x，其表现形式为X=[x(1) x(2) … x(m)]。对应输出Y也为矩阵形式，包括多项y，表现形式为Y=[y(1) y(2) … y(m)]。
这里给出一个新的表示形式y^hat，如下所示。
$$\hat{y}$$这里的$\hat{y}$表示的是你对y的预测值。y只能是0和1的某一项，但是毕竟要考虑概率问题，所以需要预测y有多少把握是0或者有多少把握是1，因此$\hat{y}$也就应运而生了。我们一般可以这么表示，用来表示对应某个输入，用算法计算出结果为1的概率。
$$\hat{y}=P(y=1|x)$$

二、logistic回归

在线性回归中会有参数$w$和$b$用来计算，公式为：
$$\hat{y}=w^{T}x+b$$但是深度学习中这个回归不是很好的，因为考虑到你得到的结果$\hat{y}$是一个概率，所以应该收敛到0和1之间。所以怎么办呢？学者们想到了一个好法子，用sigmoid函数！
这里应该强调的是sigmoid函数是一种映射方式！！！
我们这里给出sigmoid函数的公式：
$$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$这样就将sigmoid函数映射到了0-1的区间范围内。但是也因此带来了z很大但是变化率很小的问题，这在之后就会用ReLU函数做改进，在此暂时不提及。
所以我们有了sigmoid函数，将$w^{T}x+b$作为sigmoid输入项$z$输入到函数中，得到的值作为$\hat{y}$来输出，这样就可以将函数输出值映射到概率区间。
$$\hat{y}=\sigma (w^{T}x+b)$$所以在实现logistic回归时，我们要做的就是学习参数$w、b$，目标则是得到训练后的样本，在计算测试集中预测值尽可能等于实际值：${\hat{y}}^{(i)}\approx y^{(i)}$。

损失函数(Loss Function)
这里终于要提到损失函数的定义了。
损失函数用来衡量输出函数$\hat{y}$与实际值$y$有多接近（或者说有多大的差别）。由于我们会使用梯度下降法，所以平方差不是一个很好的选择，因为它会出现多个局部最优解，非凸函数。（当然误差函数肯定是越小越好的。）
这里给出新定义的损失函数$L(\hat{y},y)$：
$$L(\hat{y},y)=-(ylog\hat{y}+(1-y)log(1-\hat{y}))$$在这款损失函数中，如果你的实际值$y=1$，那么预测值$\hat{y}$越大才会使损失函数越小。同理如果你的实际值$y=0$，那么预测值$\hat{y}$越小才会使损失函数越小。所以这个损失函数是合格的。

成本函数(Cost Function)
成本函数衡量模型在全体训练样本上的表现。定义形式为所有样本损失函数的和。
$$J(w,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})$$接下来我们讨论一下为什么要这样定义损失函数和成本函数。
我们回到$\hat{y}$的定义：$\hat{y}=P(y=1|x)$。意味着这是用来表示$y=1$的概率。考虑到二分类问题，$y=1or0$,那么$P(y=0|x)=1-\hat{y}$这样的定义也就顺理成章。
所以在这里我们对整体的概率进行如下定义：
$$P(y|x)={\hat{y}}^y(1-\hat{y}{)}^{(1-y)}$$可以发现，该定义有如下性质：
$$\begin{gathered} y=0,P(y|x)=1-\hat{y} \\ y=1,P(y|x)=\hat{y} \end{gathered}$$显然，满足我们对二分问题概率的预期。同时，由于对数函数和原函数在单调性上有一致性，我们将原函数取对数：
$$log(P(y|x))=(ylog\hat{y}+(1-y)log(1-\hat{y}))$$我们预期$P(y|x)$越大越好，但是logistics回归需要一个最小化的损失函数，所以在上式加上负号后就成为我们的损失函数啦。

我们再来讨论成本函数的问题。
假设我们有m个样本，且满足独立同分布。则
$$P(alltrain)=\prod _{i=1}^{m}P(y^{(i)}|x^{(i)})$$这样我们取对数、取负并归一化后，其形式为：
$$-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}log(P(y^{(i)})|x^{(i)})=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})=J(w,b)$$当当当当，我们就这样得到了满足凸函数性质的成本函数！

三、梯度下降法

我们定义的成本函数本质上是一个凸函数，所以理论上一定会有全局最优解。同时根据凸函数的性质，初始值取在任意一点上，都会随着迭代过程到达全局最优解。
梯度下降法是指选择下降最快的方向进行迭代。方向为：
$$w=w-\alpha \frac{dJ(w)}{dw}$$这里梯度下降法对应的是后向传播。从知乎上摘了一段。

前向传播通过训练数据和权重参数计算输出结果；反向传播通过导数链式法则计算损失函数对各参数的梯度，并根据梯度进行参数的更新。

所以我们使用梯度下降法的方式不断更新节点参数，以完成全局最优的过程。
在这里我以前一直很迷惑为什么要使用成本函数同时还能进行$w、b$的修改，后来想了想每次训练都是好多轮训练的过程，所以每一轮训练中保持$w、b$不变是合理的，而不是每训练一个$x(i),y(i)$就修改一次参数。

四、向量化

在代码当中，使用多个for循环无疑是愚蠢的。所以我们使用向量化来包含所有特征$x^{(i)}$，不然多个for循坏会慢的要死，无论是python还是matlab。
在向量化后，公式改为：
$$z=w^{T}x+b,w\in R^{n_x},x\in R^{n_x}$$这是向量化的结果。那么我们是否可以接着除去遍历所有样本的for循环呢？显然，矩阵化完全满足这一要求：
$$\begin{gathered} Z=[z^{(1)}...z^{(m)}]=w^{T}X+[b...b](whichis(1\ast m)) \\ X=[x^{(1)}...x^{(m)}] \\ A=\sigma (Z) \\ dZ=A-Y \\ dw=\frac{1}{m}Xd{Z}^T \\ db=\frac{1}{m}\ast \sum _{i=1}^{m}d{Z}^{(i)} \\ w=w-\alpha dw \\ b=b-\alpha db \end{gathered}$$终于，我们得到了完全矩阵化的logistic迭代方式。