第一章 行列式

设A、B为n阶矩阵

$$\left|A^T\right|=\left|A\right|$$

$$\left|A^m\right|={\left|A\right|}^m$$

$$\left|kA\right|=k^n\left|A\right|$$

$$\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|$$

$$若A可逆，则\left|A^{-1}\right|=\frac{1}{\left|A\right|}$$

$$\left|A^{\ast }\right|={\left|A\right|}^{n-1}$$

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=\left|A\right|E$$

$$A^{\ast }=\left|A\right|A^{-1}(若A可逆)$$

$$A=\left|A\right|(A^{\ast }{)}^{-1}$$

$$\left|\begin{array}{ccc}{A}_1& & \\ & A_2& \\ & & A_3\end{array}\right|=A_1{A}_2{A}_3,\left|\begin{array}{ccc}& & A_1\\ & A_2& \\ A_3& & \end{array}\right|=-A_1{A}_2{A}_3$$

设A为n阶矩阵，B为m阶矩阵，根据拉普拉斯展开定理有

$$\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ C& B\end{array}\right|=\left|A\right|\left|B\right|$$

$$\left|\begin{array}{cc}0& A\\ B& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}C& A\\ B& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}0& A\\ B& C\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}\left|A\right|\left|B\right|$$

秩

AB小于A、B里面更小的秩

$$\{\begin{array}{c}r(AB)\le r(A)\\ r(AB)\le r(B)\end{array}$$

化“叉”型行列式

$$\left|\begin{array}{ccccc}a& 0& ...& 0& b\\ ...& & A& & ...\\ c& 0& ...& 0& d\end{array}\right|=(ad-bc)\left|A\right|,其中A是方阵,且除了主对角线和副对角线以外其余所有的元素均为0$$

化“ab”型行列式

$$\left|\begin{array}{ccccc}a& b& b& ...& b\\ b& a& b& ...& b\\ b& b& a& ...& b\\ ...& ...& ...& ...& b\\ b& b& b& ...& a\end{array}\right|=[a+(n-1)b](a-b{)}^{n-1}$$

化“三条杠”型行列式

$$\left|\begin{array}{cccccc}a& b& 0& ...& 0& 0\\ c& a& b& ...& 0& 0\\ 0& c& a& \ddots & ⋮& ⋮\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & b& 0\\ 0& 0& 0& ...& a& b\\ 0& 0& 0& ...& c& a\end{array}\right|=\{\begin{array}{c}\frac{{\alpha }^{n+1}-{\beta }^{n+1}}{\alpha -\beta },\alpha \ne \beta \\ (n+1){\alpha }^n,\alpha =\beta \end{array},且\{\begin{array}{c}\alpha +\beta =a\\ \alpha \cdot \beta =bc\end{array}$$

化“两线加一点”型行列式

$$\left|\begin{array}{cccccc}{a}_1& b_1& 0& ...& 0& 0\\ 0& a_2& b_2& ...& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& ...& a_{n-1}& b_{n-1}\\ b_n& 0& 0& ...& 0& a_n\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_1& 0& 0& ...& 0& b_n\\ b_1& a_2& 0& ...& 0& 0\\ 0& b_2& a_3& ...& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& ...& a_{n-1}& 0\\ 0& 0& 0& ...& b_{n-1}& a_n\end{array}\right|=a_1{a}_2...a_n+(-1{)}^{n+1}{b}_1{b}_2...b_n$$

行列式运算

$$|A+B|\ne |A|+|B|$$

第二章 矩阵

矩阵与初等矩阵相乘做初等变换

初等矩阵左行右列
矩阵被向量表示是列表看左，行表看右

矩阵转置的性质

$$(A^T{)}^T=A$$

$$(kA{)}^T=k{A}^T$$

$$(A\pm B{)}^T=A^T\pm B^T$$

$$(AB{)}^T=B^T{A}^T$$

$$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$$

$$(A^T{)}^m=(A^m{)}^T$$

分块矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right),A^T=\left(\begin{array}{cc}{A}_1^T& A_3^T\\ A_2^T& A_4^T\end{array}\right)$$

秩

$$r(AB)\ne r(A^T{B}^T)$$

矩阵伴随的性质

$$A^{\ast }=\left|A\right|A^{-1}(若A可逆)$$

$$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}{A}^{\ast }$$

$$(A^T{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^T$$

$$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$$

$$(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$$

$$设M=\left(\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right)，则M^{\ast }=|M|M^{-1}=|M|\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ 0& B^{-1}\end{array}\right)$$

矩阵的逆的性质

$$A^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|}$$

矩阵可逆的充要条件

n阶矩阵A可逆

$$\begin{gathered} 充要条件：1.存在n阶矩阵B，使得AB=BA+E； \\ 2.r(A)=n; \\ 3.|A|\ne 0; \\ 4.A的列(行)向量线性无关； \\ 5.Ax=0只有零解； \\ 6.0不是A的特征值； \end{gathered}$$

若矩阵不可逆，则特征值为0
可逆矩阵就是非奇异矩阵，不可逆矩阵就是奇异矩阵

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

$$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$$

$$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$

$$(A^n{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^n$$

$$(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$$

$$\left|A^{-1}\right|=\frac{1}{\left|A\right|}$$

$$(ABC{)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}$$

分块矩阵的逆

$${\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& 0\\ 0& B^{-1}\end{array}\right),{\left(\begin{array}{cc}0& B\\ A& 0\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& A^{-1}\\ B^{-1}& 0\end{array}\right)$$

$${\left(\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ 0& B^{-1}\end{array}\right),{\left(\begin{array}{cc}0& B\\ A& C\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-A^{-1}C{B}^{-1}& A^{-1}\\ B^{-1}& 0\end{array}\right)$$

二阶矩阵的逆

$$设矩阵A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)可逆，则A^{-1}=\frac{\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)}{ad-bc},可记为\frac{主对调负变号}{行列式}$$

对角矩阵的逆
副对角线上的也一样，也是取倒数

$${\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{{\lambda }_1}& & \\ & \ddots & \\ & & \frac{1}{{\lambda }_n}\end{array}\right]$$

特征值求行列式

$$若题干可求得矩阵A的所有特征值{\lambda }_1,{\lambda }_2...,{\lambda }_n,那么立即有\left|A\right|={\lambda }_1{\lambda }_2...{\lambda }_n$$

A的多项式为0可以推出特征值的多项式为0

$$f(A)=0⟹f(\lambda )=0$$

矩阵的秩

秩的公式

等式公式

$$r(A)=r(A^T)=r(A{A}^T)=r(A^{T}A)$$

1.初等变换秩不变

$$r(kA)=r(A)$$

2.乘以一个可逆矩阵秩不变

$$r(AB)=r(BA)=r(A)$$

3.若A与B等价

$$r(A)=r(B)$$

4.左乘列满秩矩阵秩不变，右乘行满秩矩阵秩不变

$$设B列满秩，C行满秩，则有r(A)=r(BA)=r(AC)$$

A的伴随矩阵的秩与A的秩的关系

$$设A为n阶矩阵，则r(A^{\ast })=\{\begin{array}{c}n,r(A)=n\\ 1,r(A)=n-1\\ 0,r(A)<n-1\end{array}$$

分块矩阵的秩

$$r[\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)]=r(A)+r(B)$$

$$r(A,AB)=r(A)$$

$$r\left(\begin{array}{c}AB\\ A\end{array}\right)=r(B)$$

秩的不等式公式

设 A 是 m × n 型矩阵， 0 ≤ r ( A ) ≤ m i n { m , n } 设A是m\times n 型矩阵，0\le r(A)\le min\left \{ m,n \right \} 设A是m×n型矩阵，0≤r(A)≤min{m,n}

m a x { r ( A ) , r ( B ) } ≤ r ( A , B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) max\left \{ r(A),r(B)\right \} \le r(A,B)\le r(A)+r(B) max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)+r(B)

$$r(A+B)\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$$

r ( A B ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\le min\left \{ r(A),r(B) \right \} r(AB)≤min{r(A),r(B)}

$$若A_{m\times n}{B}_{n\times s}=O,则r(A)+r(B)\le n$$

$$r(A)+r(B)\le r[\left(\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right)]\le r(A)+r(B)+r(C)$$

特征值与特征向量经过不同变换的结果

对角矩阵

对角矩阵的逆

$${\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{{\lambda }_1}& & \\ & \ddots & \\ & & \frac{1}{{\lambda }_n}\end{array}\right]$$

对角矩阵高次幂

$$\wedge =\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right]，则{\wedge }^n=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1^n& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n^n\end{array}\right]$$

秩1方阵

设A为n阶矩阵，且r(A)=1，则称其为“秩1方阵”

秩1方阵性质

A是实对称，可以对角化

$$A=\alpha {\beta }^T,其中\alpha 、\beta 为非零列向量$$

$$行列式|A|=0$$

$$迹tr(A)={\alpha }^T\beta ={\beta }^T\alpha$$

$$n次幂A^n=[tr(A){]}^{n-1}A$$

$$对角化tr(A)\ne 0⟺A才可以对角化$$

$$特征值{\lambda }_A、特征向量\alpha {\lambda }_A=\{\begin{array}{c}tr(A)={\alpha }^T\beta \Rightarrow \alpha 为A的非零列\\ 0\Rightarrow 瞪眼法求\alpha \end{array}$$

$$\alpha {\beta }^T、\beta {\alpha }^T是矩阵，{\alpha }^T\beta 、{\beta }^T\alpha 是数字$$

正交矩阵

正交矩阵定义

$$设n阶矩阵A=(a_{ij}{)}_{n\times n},若A^{T}A=A{A}^T=E，则称矩阵A为正交矩阵$$

正交矩阵性质

行列式

$$|A|的取值要么是1要么是-1$$

特征值

$${\lambda }_A的取值要么是1要么是-1$$

三大运算

$$A^T=A^{-1}$$

$$当｜A｜=1时，A^T=A^{-1}=A^{\ast }$$

$$A^T、A^{-1}、A^{\ast }均为正交阵$$

列向量与行向量

$$A的列向量与行向量均是单位向量$$

$$A的列向量之间相互正交，A的行向量之间也相互正交$$

$$正交阵与正交阵之积是正交阵$$

矩阵的迹tr

矩阵对角线上的和等于伴随矩阵的迹

$$\sum _{i=1}^n{A}_{ii}=A_{11}+A_{22}+A_{33}+...+A_{nn}=tr(A^{\ast })$$

矩阵相加需要注意

以下拆分只有转置成立

$$|A+B|\ne |A|+|B|$$

$$(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$$

$$(A+B{)}^{\ast }\ne A^{\ast }+B^{\ast }$$

$$(A+B{)}^T=A^T+B^T$$

第三章 向量

向量的内积

$$\alpha =(a_1,a_2,a_3),\beta =(b_1,b_2,b_3),做内积(\alpha ,\beta )=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

第四章 线性方程组

齐次线性方程组只有零解

n为A的列数
$$设齐次线性方程组A_{m\times n}=O$$

$$r(A)=n\iff 方程只有零解$$

齐次线性方程组无穷多解

$$r(A)<n\iff 方程有无穷多解$$

非齐次线性方程组无解

$$设齐次线性方程组A_{m\times n}x=y$$

$$r(A)<r(A,y)\iff 方程无解$$

非齐次线性方程组有唯一解

$$r(A)=r(A,y)=n\iff 方程有唯一解$$

非齐次线性方程组无穷多解

$$r(A)=r(A,y)<n\iff 方程无穷多解$$