具有一个入射信号的相位矩阵

  假设在接收器处有一个带有M个天线的线性阵列。在天线阵列处以入射角$\theta$接收入射信号，天线之间的间距d是信号的半波长。信号在不同的天线上具有不同的传播长度，由于传播路径比天线间隔d长得多，因此相邻天线之间的路径差可以表示为$dsin(\theta )$ 。因此相邻天线之间引入了$-2\pi fdsin(\theta )/c$的相位差，其中f是信号频率，c是光速。我们可以将引入的相位差表示为AoA的函数：
$$\Phi (\theta )=e^{-j2\pi fd\sin (\theta )/c}$$  天线阵列的相位差表示为(只存在这一条路径在M个天线上的相位差)：
$$\alpha (\theta )={\left[1,\Phi (\theta ),\dots ,\Phi (\theta {)}^{M-1}\right]}_{M\times 1}^{\top }$$
  其中$\alpha (\theta )$称为转向矩阵，如果在第一天线处接收的信号为$s(t)$，则对于第一个子载波，天线阵列处的接收信号矢量可表示为：
$$X(t)=\alpha (\theta {)}_{M\times 1}s(t{)}_{1\times 1}+N(t)={\left[1,\Phi (\theta ),\dots ,\Phi (\theta {)}^{M-1}\right]}_{M\times 1}^{\top }\cdot s(t)=[s(t),s(t)\Phi (\theta ),\cdots ,s(t)\Phi (\theta {)}^{M-1}{]}_{M\times 1}^T$$

  对于所有的k个子载波：
$$X(t)={\left[X_1(t),X_2(t),\cdots X_k(t)\right]}_{M\times k}$$

具有多个入射信号的相位矩阵

  假设对于第一个子载波，M根天线，n个入射信号时(n条路径)：
$$\begin{gathered} X_1(t)=\sum _{i=1}^n\alpha \left({\theta }_i\right)s_i(t)+N(t)=A_{M\times n}{S}_{n\times 1}+N= \\ {\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ \Phi \left({\theta }_1\right)& \Phi \left({\theta }_2\right)& \cdots & \Phi \left({\theta }_n\right)\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ \Phi {\left({\theta }_1\right)}^{M-1}& \Phi {\left({\theta }_2\right)}^{M-1}& \cdots & \Phi {\left({\theta }_n\right)}^{M-1}\end{array}\right]}_{M\times n}\cdot {\left[\begin{array}{c}{s}_1(t)\\ s_2(t)\\ ⋮\\ s_n(t)\end{array}\right]}_{n\times 1}= \\ {\left[\begin{array}{cccc}{s}_1(t)& +s_2(t)& \cdots & +s_n(t)\\ s_1(t)\Phi \left({\theta }_1\right)& +s_2(t)\Phi \left({\theta }_2\right)& \cdots & +s_n(t)\Phi \left({\theta }_n\right)\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ s_1(t)\Phi {\left({\theta }_1\right)}^{M-1}& +s_2(t)\Phi {\left({\theta }_2\right)}^{M-1}& \cdots & +s_n(t)\Phi {\left({\theta }_n\right)}^{M-1}\end{array}\right]}_{M\times 1} \end{gathered}$$
  同一路径即同一入射信号，同一入射信号入射到M根天线上，同一入射信号入射到M根天线上的角度$\theta$相同。$X_1(t)$的第一行代表所有n条入射信号在第一根天线上的总和，第二行代表所有的n条入射信号在第二根天线上的总和，依次类推。

  对于所有的k个子载波：
$$X(t)={\left[X_1(t),X_2(t),\cdots X_k(t)\right]}_{M\times k}$$
  接收到$X(t)$大小为M×K（我们常用的就是3×30），$X(t)$说白了接受到的数据包，如下图所示：

Music算法对AoA的估计

  标准MUSIC算法的基本思想是分析M个天线的接收信号X的M×M相关矩阵 的本征结构。我们可以将$R_X$表示为：
$$R_{M\times M}=E\left[X{X}^H\right]=AE\left[S{S}^H\right]A^H+E\left[N{N}^H\right]=A{R}_S{A}^H+{\sigma }^{2}I$$
  其中$R_S$是 $s(t)$ 的协方差矩阵, 当信号完全不相关时, $R_S$ 是对角线矩阵, 并且 是非奇异的; 当信号部分相关时,$R_S$是非对角线矩阵, 并且是非奇异的; 当信号完全相 关时, 即信号相干, $R_S$ 是非对角线矩阵, 并且是奇异的。

  由于方向矩阵 $A$ 是范徳蒙德矩阵, 假设阵列天线间距小于 ${\lambda }_0/2({\lambda }_0$ 为信号波长）, 则方向矩阵 $A$ 中的每一列均不相同, 即方向矩阵 $A$ 中的每一列均线性独立。此时, 若$R_S$ 是非奇异的, 则 $AS{A}^H$ 的秩为 $L$ 。对接收信号 $r(t)$ 的协方差矩阵 $R$ 做特征分解后得到 $R$ 的 特征值和特征向量:
{ λ 1 , λ 2 , … , λ M } , λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ M ≥ 0 { v 1 , v 2 , … , v M } \begin{gathered} \left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{M}\right\}, \quad \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{M} \geq 0 \\ \left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{M}\right\} \end{gathered} {λ1​,λ2​,…,λM​},λ1​≥λ2​≥⋯≥λM​≥0{v1​,v2​,…,vM​}​

  由于协方差矩阵$R_S$是厄尔米特矩阵（Hermitian Matrix）, 所以$R_S$矩阵的特征值均为 实数, 并且由于 $S$ 是 $n$ 路信号的协方差矩阵, 它的特征值均大于 0 , 矩阵 $S$ 是正定的, 所 以可推出 $R$ 是半正定的, 即 $R$ 矩阵的特征值 { λ 1 , λ 2 , … , λ M } \left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{M}\right\} {λ1​,λ2​,…,λM​} 均大于等于零。根据 $AS{A}^H$ 的秩 为 $n$ 可知, 信号空间对应的特征值和特征向量的个数为 $n$, 分别为 { λ 1 , λ 2 , … , λ n } \left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\right\} {λ1​,λ2​,…,λn​} 和 { v 1 , v 2 , … , v n } \left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} {v1​,v2​,…,vn​}, 而噪声空间对应的特征值和特征向量的个数则为 $M-n$, 分别为 { λ n + 1 , λ n + 2 , … , λ M } \left\{\lambda_{n+1}, \lambda_{n+2}, \ldots, \lambda_{M}\right\} {λn+1​,λn+2​,…,λM​} 和 { v n + 1 , v n + 2 , … , v M } \left\{v_{n+1}, v_{n+2}, \ldots, v_{M}\right\} {vn+1​,vn+2​,…,vM​} 。由于噪声能量相对于信号能量要小很多, 因此, { λ n + 1 , λ n + 2 , … , λ M } \left\{\lambda_{n+1}, \lambda_{n+2}, \ldots, \lambda_{M}\right\} {λn+1​,λn+2​,…,λM​} 是协方差矩阵$R_S$ 所有特征值中一组最小的特征值, 且趋近于零:
$${\lambda }_{n+1}={\lambda }_{n+2}=\cdots ={\lambda }_M={\sigma }^2\approx 0$$

  理论上, 信号空间与噪声空间是正交的, 因此信号空间方向矩阵 $A$ 的列向量与噪声 空间的特征向量 { v n + 1 , v n + 2 , … , v M } \left\{v_{n+1}, v_{n+2}, \ldots, v_{M}\right\} {vn+1​,vn+2​,…,vM​} 也是正交的，而 $A$ 的列向量与信号的到达方向一一对 应, 根据此性质, 便可以利用噪声空间的特征向量来求解信号的到达方向。首先构建 噪声矩阵 $E_n=\left[v_{n+1},v_{n+2},\dots ,v_M\right]$, 然后定义空间谱函数 $P_{\text{music }}(\theta )$ :
$$P_{\text{music }}(\theta )=\frac{1}{a^H(\theta )E_n{E}_n{}^{H}a(\theta )}$$
  其中 $a^H(\theta )$ 和 $E_n{}^H$ 分别为 $a(\theta )$ 和 $E_n$ 的共轭转置矩阵。由空间谱函数的定义可以看出, 当 $a(\theta )$ 和 $E_n$ 正交时[ $a(\theta )$中的$\theta$遍历-90度到90度], $P_{\text{music }}(\theta )$ 会出现一个谱峰, 谱峰对应的 $\theta$ 值便是信号到达方向的估 计值, 所以, 可以通过搜索空间谱函数的谱峰来估计信号各条传播路径的 AoA。

  MUSIC算法能有效运行的前提是矩阵$R_S$是非奇异的，即各条传播路径不相干。如果Ｌ路到达信号中存在Q路相干信号（Ｑ≤Ｌ），则通过MUSIC算法能被检测到的信号数量为Ｌ-Q+1，能被解出的信号数量为Ｌ-Ｑ。