离散数学——集合运算
并集
集合A和B的并集指的是包含A或B中或同时在A和B中的元素的集合，记为A ∪ B
交集
集合A和B的交集指的是包含同时在A和B中的元素的集合，记为A ∩ B
特别地，若A和B不相交，则交集为空集
差集
集合A和B的差集指的是包含属于A而不属于B的元素的集合，记为A - B或A \ B，A和B的差集也称为B相对A的补集
补集
对于集合A和B，集合B相对A的补集指的是包含属于A而不属于B的元素的集合
若U是全集，A的补集表示为
A
‾
\overline{A}
A，是A相对U的补集，A的补集为U-A
对称差集
集合A和B的对称差集指的是包含属于A且不属于B或属于B不属于A的元素的集合，等同于A ∪ \cup ∪B - A ∩ \cap ∩B
扩展的集合
- n个集合并集
∪ \cup ∪ Ai = A1 ∪ \cup ∪ A2 ∪ \cup ∪ ··· ∪ \cup ∪ An
- n个集合并集
∩ \cap ∩ Ai = A1 ∩ \cap ∩ A2 ∩ \cap ∩ ··· ∩ \cap ∩ An
集合恒等式
| 恒等式 | 名称 |
|---|---|
| A ∩ U = A A \cap U = A A∩U=A | 恒等律 |
| A ∪ ∅ A \cup \emptyset A∪∅ | 恒等律 |
| A ∪ U = U A \cup U = U A∪U=U | 支配律 |
| A ∩ ∅ = ∅ A \cap \emptyset = \emptyset A∩∅=∅ | 支配律 |
| A ∪ A = A A \cup A = A A∪A=A | 幂等律 |
| A ∩ A = A A \cap A = A A∩A=A | 幂等律 |
| ( A ‾ ) ‾ = A \overline{(\overline{A})} = A (A)=A | 补律 |
| A ∪ B = B ∪ A A \cup B = B \cup A A∪B=B∪A | 交换律 |
| A ∩ B = B ∩ A A \cap B = B \cap A A∩B=B∩A | 交换律 |
| A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C | 结合律 |
| A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C A∩(B∩C)=(A∩B)∩C | 结合律 |
| A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) | 分配律 |
| A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∩ ( A ∩ C ) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cap (A \cap C) A∩(B∪C)=(A∩B)∩(A∩C) | 分配律 |
| A ∩ B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} A∩B=A∪B | 德摩根律 |
| A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} A∪B=A∩B | 德摩根律 |
| $A \cup (A \cap B) = A $ | 吸收律 |
| $A \cap (A \cup B) = A $ | 吸收律 |
| A ∪ A ‾ = U A \cup \overline{A} = U A∪A=U | 互补律 |
| A ∩ A ‾ = ∅ A \cap \overline{A} = \emptyset A∩A=∅ | 互补律 |
鸣谢
最后
- 由于博主水平有限，不免有疏漏之处，欢迎读者随时批评指正，以免造成不必要的误解