从旋转矩阵计算欧拉角

从旋转矩阵中找到所有可能的欧拉角的简单方法，在计算机图形学、视觉学、机器人学和运动学中，欧拉角的确定有时是必要的一步。然而，解决方案可能是明显的，也可能不是。

旋转矩阵

我们从三个主要轴的旋转的标准定义开始。

绕x轴的弧度旋转 $\psi$ 被定义为：
$R_{x}(\psi)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \psi & -\sin \psi \\ 0 & \sin \psi & \cos \psi \end{array}\right]$
类似地，绕y轴旋转的弧度定义为
$R_{x}(\psi)=\left[\begin{array}{ccc} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{array}\right]$
最后，定义了沿z轴旋转的弧度为
$R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
这三个角 $\psi,\theta, \phi$ 是欧拉角

广义旋转矩阵

一般的旋转矩阵可以有这样的形式

$R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} R_{11}&R_{12}&R_{13} \\ R_{21}&R_{22}&R_{23} \\ R_{31}&R_{32} &R_{33} \end{array}\right]$
这个矩阵可以被认为是一个三旋转的序列，每个主轴各一个。因为矩阵乘法不能交换，旋转的轴的顺序将影响结果。在这个分析中，我们先绕 $x$ 轴旋转，然后绕 $y$ 轴旋转，最后绕 $z$ 轴旋转。这样的旋转序列可以用矩阵乘积表示。
$\begin{aligned} R &=R_{z}(\phi) R_{y}(\theta) R_{x}(\psi) \\ &=\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta \cos \phi & \sin \psi \sin \theta \cos \phi-\cos \psi \sin \phi & \cos \psi \sin \theta \cos \phi+\sin \psi \sin \phi \\ \cos \theta \sin \phi & \sin \psi \sin \theta \sin \phi+\cos \psi \cos \phi & \cos \psi \sin \theta \sin \phi-\sin \psi \cos \phi \\ -\sin \theta & \sin \psi \cos \theta & \cos \psi \cos \theta \end{array}\right] \end{aligned}$
给定一个旋转矩阵 $R$ ，通过将 $R$ 中的每个元素与矩阵乘 $R_z(\phi),R_y{\theta},R_x(\psi)$ 中的相应元素等价，可以计算出欧拉角 $\psi,\theta, \phi$ 。九个方程，可以用来找到欧拉角。

求出两个可能的角度 $\theta$

从 $R_{31}$ 开始，我们发现
$R_{31}=-sin\theta$
这个方程可以倒过来表示
$\theta=-sin^{-1}(R_{31})$
然而，在解释这个等式时必须谨慎。由于$sin(\pi-\theta)=sin(\theta)，实际上有两个不同的值（对于 $R_{31} \not=\pm1$ ）满足方程，因此，这两个值
$\theta{1}=-sin^{-1}(R_{31})$ $\theta_{2}=\pi-\theta_1=\pi+sin^{-1}(R_{31})$
都是有效的解。我们将在后面处理 $R_{31} =\pm1$ 的特殊情况，因此使用旋转矩阵的R_{31}元素，我们能够确定两个可能的值。

找到 $\psi$ 对应的角度

想要找到 $\psi$ 的值，我们观察这一点
$\frac{R_{32}}{R_{33}}=tan(\psi)$
我们用这个方程来解出
$\psi=atan2(R_{32},R_{33})$
其中 $a t a n 2 (y, x)$ 是两个变量 $x$ 和 $y$ 的 $a r c t a n$ ，类似于计算 $\frac{y}{x}$ 的 $a r c t a n$ ，只是用两个参数的符号来确定结果的象限，其范围为 $[-\pi,\pi]$ ，函数 $a t a n 2$ 在许多编程语言中都可用。

在解释方程 $2$ 时必须小心，如果 $cos(\theta)>0$ ，那么 $\psi=atan2(R_{32},R_{33})$ 。然而，当 $cos(\theta)<0$ ， $\psi=atan2(-R_{32},-R_{33})$ 。处理这个问题的一个简单方法是使用这个方程
$\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta},\frac{R_{33}}{cos\theta})$
去计算 $\psi$ 。

方程 $3$ 对除 $cos\theta = 0$ 之外的所有情况都有效。
$\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta_{1}},\frac{R_{33}}{cos\theta_{1}})$ $\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta_{2}},\frac{R_{33}}{cos\theta_{2}})$

求出 $\phi$ 对应的角度

类似的分析也适用于寻找。我们观察到
$\frac{R_{21}}{R_{11}}=tan\phi$
我们用这个方程解出了 $\phi$
$\psi=atan2(\frac{R_{21}}{cos\theta_{1}},\frac{R_{11}}{cos\theta_{1}})$ $\psi=atan2(\frac{R_{21}}{cos\theta_{2}},\frac{R_{11}}{cos\theta_{2}})$

$cos\theta\not=0$ 时的两个解

对于 $cos\theta\not=0$ 的情况，我们现在有两个三个一组的欧拉角再现了旋转矩阵，为
$\psi_1,\theta_1,\phi_1$ $\psi_2,\theta_2,\phi_2$
这两个解都是有效的。

如果 $cos\theta=0$ 呢？

如果旋转矩阵的 $R_{31}$ 元素为 $1$ 或 $- 1$ ，对应的 $\theta=-\frac{\pi}{2}$ or $\theta=\frac{\pi}{2}$ ， $cos\theta=0$ 上述就不起作用。当我们尝试使用上述技术来解决可能的值 $\psi,\phi$ 问题发生了，因为 $R_{11},R_{21},R_{32}和R_{33}$ 可能值为 $0$ ，因此 $\psi,\phi$ 变为
$\psi=atan2(\frac{0}{0},\frac{0}{0})$ $\phi=atan2(\frac{0}{0},\frac{0}{0})$
这种情况下， $R 11 、 R 21 、 R 32$ 和 $R 33$ 没有约束 $\psi,\phi$ 这些值。因此，我们必须利用旋转矩阵的不同元素来计算 $\psi,\phi$ 。

$\theta=\frac{\pi}{2}$ ：
$\begin{array}{l} R_{12}=\sin \psi \cos \phi-\cos \psi \sin \phi=\sin (\psi-\phi) \\ R_{13}=\cos \psi \cos \phi+\sin \psi \sin \phi=\cos (\psi-\phi) \\ R_{22}=\sin \psi \sin \phi+\cos \psi \cos \phi=\cos (\psi-\phi)=R_{13} \\ R_{23}=\cos \psi \sin \phi-\sin \psi \cos \phi=-\sin (\psi-\phi)=-R_{12} \end{array}$
任意的 $\psi$ 和 $\phi$ 都满足方程。我们会发现
$(\psi-\phi)=atan2(R_{12},R_{13})$ $\psi=\phi+atan2(R_{12},R_{13})$
$\theta=-\frac{\pi}{2}$ ：
$\begin{array}{l} R_{12}=-\sin \psi \cos \phi-\cos \psi \sin \phi=-\sin (\psi+\phi) \\ R_{13}=-\cos \psi \cos \phi+\sin \psi \sin \phi=-\cos (\psi+\phi) \\ R_{22}=-\sin \psi \sin \phi+\cos \psi \cos \phi=\cos (\psi+\phi)=-R_{13} \\ R_{23}=-\cos \psi \sin \phi-\sin \psi \cos \phi=-\sin (\psi+\phi)=R_{12} \end{array}$
同样
$(\psi+\phi)=atan2(-R_{12},-R_{13})$ $\psi=-\phi+atan2(-R_{12},-R_{13})$

伪代码：

$\begin{array}{l} \text { if }\left(R_{31} \neq\pm 1\right) \\ \theta_{1}=-\operatorname{asin}\left(R_{31}\right) \\ \theta_{2}=\pi-\theta_{1} \\ \psi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{32}}{\cos \theta_{1}}, \frac{R_{33}}{\cos \theta_{1}}\right) \\ \psi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{32}}{\cos \theta_{2}}, \frac{R_{33}}{\cos \theta_{2}}\right) \\ \phi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{21}}{\cos \theta_{1}}, \frac{R_{11}}{\cos \theta_{1}}\right) \\ \phi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{21}}{\cos \theta_{2}}, \frac{R_{11}}{\cos \theta_{2}}\right) \\ \text { else } \\ \begin{array}{c} \phi=\text { anything; can set to } 0 \\ \text { if }\left(R_{31}=-1\right) \\ \theta=\pi / 2 \\ \psi=\phi+\operatorname{atan} 2\left(R_{12}, R_{13}\right) \\ \text { else } \\ \quad \quad \theta=-\pi / 2 \\ \quad \psi=-\phi+\operatorname{atan} 2\left(-R_{12},-R_{13}\right) \\ \text { end if } \end{array} \\ \text { end if } \end{array}$

实际例子

下面提供了一个例子，演示了从一个旋转矩阵中计算出 $\psi,\theta, \phi$ 。
假设要求我们找出产生这个矩阵的欧拉角
$R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} .5&-.1464&.8536 \\ .5&.8536&-.1464\\ -.7071&.5&.5 \end{array}\right]$
首先，求出可能 $\theta$ 的取值
$\theta_1=-sin(-.7071)=\frac{\pi}{4}$
$\theta_2=\pi-\theta_1=\frac{3\pi}{4}$
然后，我们找到相应的数值
$\begin{array}{l} \psi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (\pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (\pi / 4)}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \psi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}\right)=-\frac{3 \pi}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \phi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (\pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (\pi / 4)}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \phi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}\right)=-\frac{3 \pi}{4} \end{array}$
因此，解为
$(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}),(-\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{4},-\frac{3\pi}{4})$