集合及其运算

集合与元素

集合：把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待时，这个整体便称为是一个集合。
元素： 组成集合的那些个体称为集合的元素。
例：全体中国人可组成一个集合，每一个中国人均是这个集合的元素。

通常用大写英文字母来标记集合，用小写英文字母标记组成集合的个体。
若个体a是集合A的元素，则记作“a∈A”。
若个体a不是集合A的元素，则记作“a∉A” 。

几个常用集合的表示符号：

集合的表示方法

列举法：按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号内，元素之间用逗号隔开。
例如：A={2,a,b,9},B={4,5,6,7,8}
描述法：给定一个条件P(x)，当且仅当个体a使P(a)成立时，a∈A。其一般形式为A={a∣P(a)}。
例如：B={a∣a∈N且4≤a≤8}

集合的基数

集合A中不同元素的个数称为集合A的基数，记作|A|。
例如：上面的|A|=4，|B|=5，集合C有无穷多个元素，因此C的基数是无穷大。
若|A|是有限集，则称A为有限集，否则称A为无限集。
例如 N , I , Q , R 等均为无限集。

空集

不含有任何元素的集合，称为空集，记作∅。
例如 A={x | x∈R 且 x2+8=0 }=∅

集合间的关系

集合的包含和相等是集合间的两个基本关系。

集合的包含

设有集合A、B，如果A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记A⊆B。如果A不是B的子集，则记作A⊄B。
集合的包含关系具有如下几条性质：
1.对任意集合A，∅ ⊆ A ；
2.对任意集合A，A ⊆ A ；
3.对任意集合A、B、C，若 A ⊆ B,B ⊆ C，则 A ⊆ C。
证明性质1：
（反证法）假设 ∅ ⊄ A ，则至少有一个元素 x ∈ ∅ ，但 x ∉ A ，这与空集的定义相矛盾，因此成立。

集合的相等

设有集合A、B，若A ⊆ B且B ⊆ A，则称集合A与B相等，记作A=B。
例如：设A={x | x∈N 且 x能整除24}，B={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} ，则 A=B。

集合的真包含

设有集合A、B，若 A ⊆ B , 且A ≠ B，则称A是B的真子集，记作 A ⊂ B ，若A不是B的真子集，则记作 A ⊄ B。

空集的唯一性

空集是唯一的 。
证明：假设有两个空集 ∅1 和 ∅2 ，
因为空集被包含于每一个集合中，
所以有 ∅1 ⊆ ∅2， ∅2 ⊆ ∅1，
由集合的相等性可知，∅1 = ∅2， 故空集是唯一的。

集合的运算和运算定律

幂集

序偶与笛卡尔积

序偶与笛卡尔积

有序n元组

定义：由n个具有给定次序的个体a1,a2,…,an 组成的序列称为有序n元组，记作〈a1,a2,…,an〉。
注意：有序n元组与n个元素的集合，是不相同的。

定义:设〈a1,a2,…,an〉 和〈b1,b2,…,bn〉是两个有序n元组，若 a1=b1, a2=b2, … , an=bn，则称这两个有序n元组相等，并记作 〈a1,a2,…,an〉=〈b1,b2,…,bn〉。
当n=2时，有序二元组〈a,b〉又称为序偶。

笛卡尔积

定义：设A,B为任意集合， A 和 B 的笛卡尔积用A × B 表示，定义为 A × B={〈a,b〉| a ∈ A , b ∈ B }。

笛卡尔积的性质