【数字信号处理 | 学习笔记】一、离散时间信号与系统

1 数字信号处理

2 离散时间信号

2.1 序列

2.2 离散时间信号

3.2.1 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）

3.2.2 离散时间信号的傅里叶变换的性质

1 数字信号处理

数字信号处理：利用计算机或专用设备，以数值计算的方法对信号进行采集、变换、估值和识别等加工处理，借以达到提取信息和便于应用的目的。

信号：传递信息的函数，数学上表示为一个或多个自变量的函数。

连续时间信号：在连续的时间集合上有定义的信号；
模拟信号：时间连续，幅值连续；
离散时间信号：时间为离散变量的信号；
数字信号：时间离散，幅值离散。

2 离散时间信号

2.1 序列

离散时间信号的表示方法：序列表示法，函数表示法和图形表示法。

离散时间信号的基本运算：

移位：x(n-m)延时，x(n+m)超前；
反转/折叠：x(n)->x(-n)；
序列求和与乘积{x(n)+y(n)}，{x(n)*y(n)}；
累加和计算：

$y(n)=\sum_{k=-\infty}^{n}x(k)$

尺度变换：x(n)->x(mn)抽取，x(n)=x(n/m)插值；
序列能量：归一化能量，表示信号在1欧姆电阻上产生的能量

$E=\sum_{n=-\infty }^{+\infty }|x(n)|^{2}$

2.2 离散时间信号

1. 单位取样序列

$\delta(n)=\left\{\begin{matrix} 1, n=0\\ 0, n\neq 0 \end{matrix}\right.$

任意序列皆可以表示成各延迟单位取样序列的幅度加权和：

$x(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)\delta(n-k)$

2. 单位阶跃序列

3. 矩形序列

4. 实指数序列

5. 正弦序列

$x(n)=Asin(\omega n+\phi)$

其中 $\omega$ 为数字域频率。模拟域角频率与数字域角频率的关系为：

$\omega =\Omega T$

6. 复指数序列

$x(n)=e^{(\sigma +j\omega )n}=e^{\sigma n}cos(\omega n)+je^{\sigma n}sin(\omega n)$

$\sigma =0$ ，等幅震荡；
$\omega =0$ ，实指数信号；
$\sigma =0$ ， $\omega =0$ ，直流信号。

7. 周期序列 $\tilde{x}(n)$

$N=\left (\frac{2\pi }{\omega } \right )k$

3 离散时间系统

3.1 离散时间系统时域分析

3.1.1 线性非移变系统

线性系统：

$T[ax_{1}(n)+bx_{2}(n)]=ay_{1}(n)+by_{2}(n)$

非移变系统：

T[x(n-k)]=y(n-k)

3.1.2 线性卷积

线性卷积（离散卷积）：

$y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x(k)y(n-k)$

即