背景与模型概述

层次分析法由托马斯·L·萨蒂在1970年代提出，旨在解决决策者在面对多个相互冲突的准则时如何做出合理决策的问题。萨蒂教授发现，通过建立层次结构模型，可以有效地组织和处理决策问题。

层次分析法的核心是建立一个层次结构模型，通常包括三个层次：

1. 目标层：决策的最终目标。
2. 准则层：影响目标实现的各种准则或标准。
3. 方案层：实现目标可能采取的各种方案。

分析步骤

构建层次结构模型

根据问题的性质，将决策问题分解为目标、准则和方案三个层次。

成对比较

在准则层，对每一对准则进行两两比较，确定它们的相对重要性。
层次结构模型可以用下面的矩阵表示：
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$
其中，$A$ 是一个准则层的成对比较矩阵，$a_{ij}$ 表示准则 $i$ 相对于准则 $j$ 的相对重要性。

一致性检验

检查成对比较矩阵的一致性，确保比较结果的合理性。
一致性指标（Consistency Index, CI）是衡量成对比较矩阵一致性的指标，其计算公式为：
$$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$$
其中，${\lambda }_{max}$ 是矩阵 $A$ 的最大特征值，$n$ 是准则的数量。

一致性比率

一致性比率（Consistency Ratio, CR）是一致性指数与随机一致性指数（Random Index, RI）的比值，用于判断成对比较矩阵的一致性是否可接受：
$$CR=\frac{CI}{RI}$$
如果 $CR<0.1$，则认为成对比较矩阵的一致性是可接受的。

计算权重

利用数学方法计算准则层中各准则的权重。
准则权重 $w_i$ 可以通过求解以下特征向量问题获得：
$Aw=\lambda w$
其中，$w$是特征向量，$\lambda$ 是对应的特征值。在实际应用中，通常取 ${\lambda }_{max}$ 对应的特征向量作为权重向量。

合成权重

将准则层的权重与方案层的评分相结合，计算出各方案的合成权重。
合成权重 $w_s$ 可以通过以下公式计算：
$w_s=w\times B$
其中，$w$ 是准则层的权重向量，$B$ 是方案层的评分矩阵。

方案排序

根据合成权重对方案进行排序，选择最优方案。

一致性检验的重要性

在进行成对比较时，一致性检验是确保决策过程合理性的关键。如果成对比较矩阵的一致性指数过高，说明比较结果存在逻辑矛盾，需要重新进行比较。
确保成对比较矩阵的一致性指标（Consistency Index, CI）达到可接受的标准，是层次分析法（AHP）中一个非常重要的步骤。
以下是确保CI达到可接受标准的一些方法：

1. 进行成对比较：

   • 在构建成对比较矩阵时，确保每一对准则之间的比较都是基于经验和逻辑的，避免主观随意性。

2. 使用9点标度：

   • 层次分析法通常使用1到9的标度来表示准则之间的相对重要性。这个标度帮助决策者更精确地表达他们的观点。

3. 检查和修正：

   • 如果CI计算结果表明一致性不可接受（即CR≥0.1），需要重新检查成对比较矩阵，特别是那些影响CI较大的元素。

4. 重新进行成对比较：

   • 对于那些不一致的比较，可能需要重新进行成对比较，以确保每个准则的重要性被正确地反映。

5. 使用软件工具：

   • 可以使用专门的软件工具来辅助进行成对比较和计算CI，这些工具可以自动检查一致性并给出建议。

6. 教育和培训：

   • 对于参与成对比较的决策者进行适当的教育和培训，确保他们理解层次分析法的原理和成对比较的重要性。

7. 多轮迭代：

   • 在某些情况下，可能需要进行多轮成对比较和一致性检验，直到CI达到可接受的标准。

实例

下面通过一个简单的实例来说明如何使用层次分析法（AHP）来解决实际问题，并确保成对比较矩阵的一致性。
问题背景
假设你是一家初创公司的CEO，需要决定公司下一财年的三个主要投资方向：市场营销（M）、研发（R）和客户服务（C）。你希望通过层次分析法来确定这三个方向的优先级。
步骤1：构建层次结构模型

1. 目标层：增加公司收入。
2. 准则层：市场营销（M）、研发（R）、客户服务（C）。
3. 方案层：在这个例子中，方案层就是准则层本身，因为我们正在评估这三个方向。

步骤2：成对比较
你需要对这三个准则进行成对比较，并使用1到9的标度来表示它们相对于增加公司收入的相对重要性。假设你进行了以下比较：

• 市场营销（M）与研发（R）：比较重要，选择标度值为5。
• 市场营销（M）与客户服务（C）：非常重要，选择标度值为7。
• 研发（R）与客户服务（C）：稍微重要，选择标度值为3。

成对比较矩阵 ( A ) 如下：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& \frac{1}{7}\\ \frac{1}{5}& 1& 3\\ 7& \frac{1}{3}& 1\end{array}\right]$$

步骤3：计算权重和一致性指标
接下来，你需要计算这个矩阵的最大特征值 ${\lambda }_{max}$ 和对应的特征向量（权重向量）。假设计算得到：

• ${\lambda }_{max}=3.414$
• 权重向量 $w=[0.4,0.3,0.3]$（权重向量需要归一化）

计算一致性指标 $CI$：

$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}=\frac{3.414-3}{3-1}=0.207$

对于3x3矩阵，随机一致性指数 $RI=0.58$，计算一致性比率 $CR$：

$CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.207}{0.58}\approx 0.357$

步骤4：评估一致性
由于 $CR>0.1$，一致性不可接受。需要重新审视成对比较的标度值，特别是那些影响CI较大的比较，比如市场营销（M）与客户服务（C）的比较。

步骤5：重新进行成对比较
需要调整矩阵中的元素以降低 $CR$。假设我们决定调整市场营销（M）与客户服务（C）的比较值，从7降低到6。新的成对比较矩阵 $A^{\prime }$ 如下：
$$A^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& \frac{1}{6}\\ \frac{1}{5}& 1& 3\\ 6& \frac{1}{3}& 1\end{array}\right]$$
使用矩阵 $A^{\prime }$，我们重新计算 ${\lambda }_{max}$和权重向量。假设新的计算结果为：

• ${\lambda }_{max}=3$（简化计算，假设新的 ${\lambda }_{max}$为3）
  -假设通过适当的数学方法（如特征值法），我们计算出调整后的成对比较矩阵 $A^{\prime }$ 的权重向量 $w$ 为：
  $w=[0.5,0.25,0.25]$
  使用新的${\lambda }_{max}$ 计算 $CI$ 和 $CR$：

$$C{I}^{\prime }=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}=\frac{3-3}{3-1}=0$$
$$C{R}^{\prime }=\frac{C{I}^{\prime }}{RI}=\frac{0}{0.58}=0$$
由于 $C{R}^{\prime }=0$，一致性检验通过。

步骤7：方案排序
因为本例没有方案层，因此合成权重与准则层权重相同，我们可以对方案进行排序：

1. 方案 M，合成权重为 0.5
2. 方案 R，合成权重为 0.25
3. 方案 C，合成权重为 0.25

代码示例

import numpy as np

def calculate_eigenvector(matrix):
    # 计算特征值和特征向量
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(matrix)
    max_index = np.argmax(eigenvalues)
    max_eigenvector = eigenvectors[:, max_index]
    # 归一化特征向量
    normalized_eigenvector = max_eigenvector / np.sum(max_eigenvector)
    return normalized_eigenvector

def calculate_consistency_index(matrix_size):
    # 随机一致性指数，这里以3x3矩阵为例
    RI = 0.58  # 仅适用于3x3矩阵
    return RI

def check_consistency(matrix):
    # 计算最大特征值
    max_eigenvalue = np.max(np.linalg.eigvals(matrix))
    # 计算一致性指数CI
    CI = (max_eigenvalue - matrix.shape[0]) / (matrix.shape[0] - 1)
    # 计算一致性比率CR
    RI = calculate_consistency_index(matrix.shape[0])
    CR = CI / RI
    return CR

def adjust_matrix(matrix):
    # 调整矩阵直到CR小于0.1
    while check_consistency(matrix) >= 0.1:
        # 这里仅做演示，实际可能需要更复杂的调整策略
        matrix += (np.random.rand(matrix.shape[0], matrix.shape[1]) - 0.5) * 0.2
        matrix = np.triu(matrix) + np.triu(matrix).T  # 确保矩阵是对称的
    return matrix

# 初始成对比较矩阵
comparison_matrix = np.array([
    [1, 5, 7],
    [1/5, 1, 3],
    [1/7, 1/3, 1]
], dtype=float)

# 确保矩阵是成对比较矩阵
comparison_matrix = np.maximum(comparison_matrix, comparison_matrix.T)

# 调整矩阵直到通过一致性检验
adjusted_matrix = adjust_matrix(comparison_matrix)

# 计算准则层权重
criteria_weights = calculate_eigenvector(adjusted_matrix)[0]

# 假设方案层评分矩阵（这里简化为与准则层相同）
alternatives_matrix = comparison_matrix  # 通常这里会根据实际情况有不同的评分

# 计算合成权重
composite_weights = np.dot(criteria_weights, np.ones(len(criteria_weights)))

# 打印结果
print(f"Adjusted Comparison Matrix:\n{adjusted_matrix}")
print(f"Criteria Weights:\n{criteria_weights}")
print(f"Composite Weights:\n{composite_weights}")

结语

层次分析法广泛应用于多个领域，包括但不限于项目管理、资源分配、政策分析等。它特别适用于那些涉及多个准则和方案的复杂决策问题。
层次分析法作为一种多准则决策工具，以其结构化和系统化的特点，帮助决策者在复杂问题中找到最优解。通过建立层次结构模型和成对比较，AHP提供了一种科学、合理的决策方法。