从零开始学数据结构系列之第四章《prim算法（普里姆算法）讲解汇总》

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讲解1：
讲解2：
往期回顾

可以参考以下视频
最小生成树(Kruskal(克鲁斯卡尔)和Prim(普里姆))算法动画演示

讲解1：

了解了什么是最小生成树后，讲解如何用普里姆（prim）算法查找连通网（带权的连通图）中的最小生成树。

普里姆算法查找最小生成树的过程，采用了贪心算法的思想。对于包含 N 个顶点的连通网，普里姆算法每次从连通网中找出一个权值最小的边，这样的操作重复 N-1 次，由 N-1 条权值最小的边组成的生成树就是最小生成树。

那么，如何找出 N-1 条权值最小的边呢？普里姆算法的实现思路是：

将连通网中的所有顶点分为两类（假设为 A 类和 B 类）。初始状态下，所有顶点位于 B 类；

选择任意一个顶点，将其从 B 类移动到 A 类；

从 B 类的所有顶点出发，找出一条连接着 A 类中的某个顶点且权值最小的边，将此边连接着的 A 类中的顶点移动到 B 类；

重复执行第 3 步，直至 B 类中的所有顶点全部移动到 A 类，恰好可以找到 N-1 条边。

举个例子，下图是一个连通网，使用普里姆算法查找最小生成树，需经历以下几个过程：
在这里插入图片描述
将图中的所有顶点分为 A 类和 B 类，初始状态下，A = {}，B = {A, B, C, D, S, T}。

从 B 类中任选一个顶点，假设选择 S 顶点，将其从 B 类移到 A 类，A = {S}，B = {A, B, C, D, T}。从 A 类的 S 顶点出发，到达 B 类中顶点的边有 2 个，分别是 S-A 和 S-C，其中 S-A 边的权值最小，所以选择 S-A 边组成最小生成树，将 A 顶点从 B 类移到 A 类，A = {S, A}，B = {B, C, D, T}。

在这里插入图片描述
从 A 类中的 S、A 顶点出发，到达 B 类中顶点的边有 3 个，分别是 S-C、A-C、A-B，其中 A-C 的权值最小，所以选择 A-C 组成最小生成树，将顶点 C 从 B 类移到 A 类，A = {S, A, C}，B = {B, D, T}。

从 A 类中的 S、A、C 顶点出发，到达 B 类顶点的边有 S-C、A-B、C-B、C-D，其中 C-D 边的权值最小，所以选择 C-D 组成最小生成树，将顶点 D 从 B 类移到 A 类，A = {S, A, C, D}，B = {B, T}。

在这里插入图片描述
从 A 类中的 S、A、C、D 顶点出发，到达 B 类顶点的边有 A-B、C-B、D-B、D-T，其中 D-B 和 D-T 的权值最小，任选其中的一个，例如选择 D-B 组成最小生成树，将顶点 B 从 B 类移到 A 类，A = {S, A, C, D, B}，B = {T}。
在这里插入图片描述

从 A 类中的 S、A、C、D、B 顶点出发，到达 B 类顶点的边有 B-T、D-T，其中 D-T 的权值最小，选择 D-T 组成最小生成树，将顶点 T 从 B 类移到 A 类，A = {S, A, C, D, B, T}，B = {}。

在这里插入图片描述
由于 B 类中的顶点全部移到了 A 类，因此 S-A、A-C、C-D、D-B、D-T 组成的是一个生成树，而且是一个最小生成树，它的总权值为 17。

在这里插入图片描述

讲解2：

Prim算法每次循环都将一个蓝点u变为白点，并且此蓝点u与白点相连的最小边权min[u]还是当前所有蓝点中最小的。这样相当于向生成树中添加了n-1次最小的边，最后得到的一定是最小生成树。

我们通过对下图最小生成树的求解模拟来理解上面的思想。蓝点和虚线代表未进入最小生成树的点、边；白点和实线代表已进入最小生成树的点、边。

1.初始时所有点都是蓝点，min[1]=0,min[2、3、4、5]=∞。权值之和MST=0。

在这里插入图片描述
2.第一次循环自然是找到min[1]=0最小的蓝点1。将1变为白点，接着枚举与1相连的所有蓝点2、3、4，修改它们与白点相连的最小边权。

min[2]=w[1] [2]=2;
min[3]=w[1] [3]=4;
min[4]=w[1] [4]=7；
3.第二次循环是找到min[2]最小的蓝点2。将2变为白点，接着枚举与2相连的所有蓝点3、5，修改它们与白点相连的最小边权。
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min[3]=w[2][3]=1;
min[5]=w[2][5]=2;

4.第三次循环是找到min[3]最小的蓝点3。将3变为白点，接着枚举与3相连的所有蓝点4、5，修改它们与白点相连的最小边权。
在这里插入图片描述
min[4]=w[3] [4]=1;
由于min[5]=2 < w[3] [5]=6;所以不修改min[5]的值。
5.最后两轮循环将点4、5以及边w[2][5],w[3][4]添加进最小生成树。

在这里插入图片描述
最后权值之和MST=6。这n次循环，每次循环我们都能让一个新的点加入生成树，n次循环就能把所有点囊括到其中；每次循环我们都能让一条新的边加入生成树，n-1次循环就能生成一棵含有n个点的树；每次循环我们都取一条最小的边加入生成树，n-1次循环结束后，我们得到的就是一棵最小的生成树。这就是Prim采取贪心法生成一棵最小生成树的原理。算法时间复杂度：O (N2)。

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