梯度消失/梯度爆炸（Vanishing / Exploding gradients）

梯度消失或梯度爆炸：训练神经网络的时候，导数或坡度有时会变得非常大，或者非常小，甚至于以指数方式变小，这加大了训练的难度。

$g(z)=z,b^{[l]}=0$

$\hat{y}=W^{[l]}{W}^{[l-1]}{W}^{[l-2]}\cdots W^{[3]}{W}^{[2]}{W}^{[1]}x$

$z^{[1]}=W^{[1]}x$

$a^{[1]}=g(z^{[1]})=z^{[1]}$

$a^{[2]}=g(z^{[2]})=g(w^{[2]}{a}^{[1]})$

$\cdots$

若：$W^{[l]}=\left[\begin{array}{cc}1.5& 0\\ 0& 1.5\end{array}\right],\hat{y}=W^{[L]}{\left[\begin{array}{cc}1.5& 0\\ 0& 1.5\end{array}\right]}^{L-1}x$

注：假设 $W^{[L]}$ 更 $W^{[l]}$ 相等

这会导致 $\hat{y}$ 呈指数级增长，比率：$1.5^L$

相反，若 $W^{[l]}=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0\\ 0& 0.5\end{array}\right],\hat{y}=W^{[L]}{\left[\begin{array}{cc}0.5& 0\\ 0& 0.5\end{array}\right]}^{L-1}x$

• 这会导致激活函数的值将以指数级下降，它是与网络层数数量 $L$ 相关的函数，在深度网络中，激活函数以指数级递减。

若 $W^{[l]}$ 略大于 1，激活函数将爆炸式增长

若 $W^{[l]}$ 略小于 1，激活函数将以指数级递减

同理：与层数 $L$ 相关的导数或梯度函数