行列式及线性方程组

基础

• 一个行列式中某一行（或一列）各元素的公因子可以提到行列式记号的外边。
• 如果一个行列式中有一行或一列的元素素全为0，则这个行列式等于0
• 如果行列式的两行（或两列）的对应元素成比例，此行列式的值等于0
• 如果行列式的一行或一列的元素都是两项式，可分解为这两个行列式的和
• 把行列式的某一行或某一列所有元素同乘以一数后，加于另一行或另一列的对应元素，行列式值不变。
• 行列式按行按列展开
  把行列式的某一元素所在的行或列划去后，留下来的行列式称为这行列式对应于该元素的子行列式。
  $$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|$$
  对应于元素h的子行列式为：
  $$\left|\begin{array}{cc}a& c\\ d& f\end{array}\right|$$
  对应于该元素$(i行j列)$的子行列式乘上$(-1{)}^{i+j}$所得的式子称为对应于该元素的代数余子式。
  设元素为$a_{ij}$，$A_{ij}$为它的代数余子式。
• 行列式值等于它的任意一行或一列的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。
• 行列式某一列（或某一行）的各元素与另一列（或另一行）对应的元素的代数余子式的乘积的和恒等于零。
  $$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|$$
  以第一行元素乘以第二行元素的代数余子式为例。
  $$a\times \left|\begin{array}{cc}b& c\\ h& i\end{array}\right|+b\times \left|\begin{array}{cc}a& c\\ g& i\end{array}\right|+f\times \left|\begin{array}{cc}a& b\\ g& h\end{array}\right|=0$$
• 三元线性方程组
  1.$如果方程组的系数行列式\Delta \ne 0,则方程组有唯一解：$
  $$x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta },y=\frac{{\Delta }_y}{\Delta },z=\frac{{\Delta }_z}{\Delta }$$
  $$\begin{gathered} 其中，{\Delta }_x、{\Delta }_y、{\Delta }_z是把行列式\Delta 中对应的 \\ 未知数的各系数换成等式右边的常数项形成的三阶行列式 \end{gathered}$$
  2.$$\begin{gathered} 如果方程组的系数行列式\Delta =0, \\ {\Delta }_x、{\Delta }_y、{\Delta }_z至少一个不为零，则方程组无解 \end{gathered}$$
  3.$$\begin{gathered} 如果方程组的系数行列式\Delta =0, \\ {\Delta }_x、{\Delta }_y、{\Delta }_z至全为零，则方程组可能无限多个解，也可能无解。 \end{gathered}$$

理论

二项式的详细说明

一、定义

二项式是初等代数中的一个重要概念，指的是仅由两个单项式通过加法运算组成的代数式。具体地，二项式可以表示为 $ax+b$的形式，其中$a$ 和$b$是常数（可以是实数或复数），$x$是变量。更一般地，二项式也可以看作是形如 $(a+b{)}^n$ 的表达式在展开后得到的具有特定形式的代数式，其中$n$ 是非负整数。

二、计算

二项式的计算主要涉及二项式定理的应用。二项式定理是一个重要的数学定理，它给出了形如 $(a+b{)}^n$ 的二项式展开后的各项系数和形式。具体来说，$(a+b{)}^n$的展开式为：

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+\cdots +C_n^n{b}^n$$

其中 (C_n^k) 是组合数，表示从 (n) 个不同元素中取出 (k) 个元素的组合方式数。通过二项式定理，我们可以快速计算出二项式展开后的各项系数和具体形式。

三、实例

以 $(a+b{)}^2$为例，根据二项式定理，其展开式为：

$$(a+b{)}^2=C_2^0{a}^2+C_2^{1}ab+C_2^2{b}^2=a^2+2ab+b^2$$

同样地，对于$(a-b{)}^2$，其展开式也可以通过二项式定理得到：

$$(a-b{)}^2=[(a+(-b)){]}^2=a^2-2ab+b^2$$

四、和单项式及多项式的区别

综上所述，二项式是介于单项式和多项式之间的一种代数式，具有特定的形式和计算方法。它与单项式和多项式在定义、形式和计算上都存在明显的区别。

三元线性方程组

概述

三元线性方程组（system of ternary linear equations）亦称三元一次方程组，是一种特殊的线性方程组，即方程组中的各个方程的常数项都是零的三元线性方程组。
在初等数学中，三元齐次线性方程组常指由形如 $a_{ix}+b_{iy}+c_{iz}=0$（其中 $i=1,2,3$）的三个方程组成的方程组。
三元线性方程组（System of Ternary Linear Equations）是指包含三个未知数（通常表示为$x,y,z$）和由这些未知数组成的三个线性方程的方程组。线性方程指的是方程中未知数的次数都是1的方程，且未知数的系数和常数项都是实数或复数。

具体地，三元线性方程组可以表示为以下形式：

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1\\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2\\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\end{array}$$

其中，$a_{ij}$（$i,j=1,2,3$）是未知数的系数，$b_i$（$i=1,2,3$）是常数项，$x,y,z$是未知数。

三元线性方程组的解可能是：

1. 唯一解：当且仅当系数矩阵（由系数$a_{ij}$构成的矩阵）的行列式（也称为系数行列式或判别式）不为零时，方程组有唯一解。

2. 无穷多解：当系数矩阵的行列式为零，且方程组中的方程不相互独立（即存在某个方程可以由其他方程线性组合得到）时，方程组有无穷多解。这些解构成一个解集，通常可以表示为包含参数（自由变量）的表达式。

3. 无解：在理论上，对于线性方程组来说，无解的情况较为罕见，通常只出现在方程组中存在矛盾方程（即某个方程无法与其他方程同时成立）时。但在实际应用中，由于数值误差等原因，可能会遇到“近似无解”的情况，即虽然理论上无解，但由于数值计算的精度限制，可能得到非常接近但实际上并不完全满足所有方程的解。然而，在严格的数学意义上，这种情况仍然被视为无解。

解三元线性方程组的方法主要有消元法（包括高斯消元法）、克莱姆法则（当系数行列式不为零时）、矩阵方法（利用逆矩阵或增广矩阵）等。

三元线性方程组的计算

消元法

消元法是解决三元线性方程组的一种常用方法。基本思路是通过消去一个变量，将三元方程组转化为二元方程组，再进一步转化为单个方程求解。以下是具体的计算步骤：

1. 选择消元目标：通常选择其中一个变量（如 $z$）进行消元。
2. 消元：通过方程之间的线性组合（如乘法和加减）来消去目标变量。
3. 求解二元方程组：在消去一个变量后，得到一个二元线性方程组，使用二元线性方程组的解法求解。
4. 回代求解：将二元方程组的解代入原方程组，求解被消去的变量。

克莱姆法则

克莱姆法则（Cramer’s Rule）是另一种解决线性方程组的方法，但要求方程组的系数行列式不等于零。对于三元线性方程组，如果系数行列式 $D\ne 0$，则可以通过计算各个变量的行列式 $D_1,D_2,D_3$ 来求解 $x,y,z$：

$$x=\frac{D_1}{D},y=\frac{D_2}{D},z=\frac{D_3}{D}$$

其中 $D_1,D_2,D_3$ 是将系数行列式的第 $i$ 列（$i=1,2,3$）替换为方程组右端的常数项后得到的行列式。

例子和例题

例子

设三元线性方程组为：

$$\{\begin{array}{l}2x+y-z=5\\ 3x-y+4z=0\\ x+2y+2z=8\end{array}$$

通过消元法或克莱姆法则可以求解得到 $x=2,y=1,z=3$。

例题

设三元线性方程组为：

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ x+2y+3z=9\\ x+3y+4z=16\end{array}$$

首先，计算系数行列式 $D$，若 $D\ne 0$，则方程有唯一解。但在这个例子中，通过计算发现 $D=0$，说明方程组有无穷多解。进一步通过求解可以得到通解形式为 $x=2-2t,y=t,z=t$，其中 $t$ 为任意实数。

应用

三元线性方程组在多个领域有广泛的应用，包括但不限于：

1. 工程学：在结构分析、电路分析等领域，经常需要求解多个变量之间的线性关系。
2. 经济学：在解决供需平衡、成本收益分析等问题时，也常需要建立并求解线性方程组。
3. 物理学：在力学、电磁学等领域，许多物理现象都可以用线性方程组来描述和求解。

总之，三元线性方程组是解决实际问题中多个变量之间线性关系的重要工具，其解法和应用在多个领域都有广泛的研究和应用。

无解的例子和例题

• 克莱姆法则（Cramer’s Rule）是线性代数中用于求解线性方程组的一种方法，但它有一个重要的前提：方程组的系数行列式（也称为判别式）必须不为零。
• 当系数行列式为零时，克莱姆法则无法直接应用，因为此时方程组可能无解、有唯一解（在特殊情况下，如方程组中某些方程实际上是多余的）或有无穷多解。
  然而，在通常情况下，系数行列式为零往往与方程组有无穷多解或无解相关联。
  例子：
  考虑以下三元线性方程组：

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x+y+z=2\\ x+2y+2z=3\end{array}$$

计算系数行列式，我们发现它是零（因为第二行是第一行的复制，导致行列式为零）。同时，观察方程组可以发现，第一个和第二个方程实际上是相同的，而第三个方程并不能提供足够的信息来使方程组有唯一解。因此，这个方程组无解。

注意：克莱姆法则本身并不直接用于证明方程组无解，而是通过观察系数行列式为零以及方程组的具体形式来得出结论。

有无穷多个解的例子和例题

例子：
考虑以下三元线性方程组：

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x+2y+3z=0\\ 2x+4y+6z=0\end{array}$$
计算系数行列式，我们同样发现它是零（因为第三行是前两行的线性组合）。此时，方程组中的第三个方程实际上是前两个方程的线性组合，因此它是多余的。方程组可以简化为：

$$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ x+2y+3z=0\end{array}$$

这个简化后的方程组有无穷多解，因为对于任意的$z$值，我们都可以通过解这两个方程来找到对应的$x$和$y$值（这些值将形成一条直线或平面上的点集）。

例题（简化版）：
考虑以下二元线性方程组（为了简化说明）：

$$\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x+2y=0\end{array}$$

这里第二个方程实际上是第一个方程的两倍，因此它们是等价的。系数行列式为零（因为这是一个2x2矩阵，且主对角线上的元素相等，副对角线上的元素为零）。方程组有无穷多解，因为对于任意的$x$值，$y$都可以取$-x$来满足方程。

总结

克莱姆法则要求系数行列式不为零以确保方程组有唯一解。当系数行列式为零时，方程组可能无解或有无穷多解，这需要通过观察方程组的具体形式来判断。在实际应用中，如果遇到系数行列式为零的情况，通常会尝试使用其他方法（如消元法、矩阵的秩分析等）来求解或分析方程组。

参考文献

1. 文心一言
2. 《高等数学讲义》