线性方程组

齐次线性方程组

• 含有两个三元齐次线性方程的方程组

1. 两个三元齐次线性方程通常指的是形如：

$$\begin{gathered} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0 \\ {a}_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0 \end{gathered}$$

其中，$a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ 是常数，且 $x,y,z$ 是未知数。由于这些方程是齐次的（即常数项为0），它们总是有一个显然的解，即 $x=0,y=0,z=0$，这通常被称为零解。但除了零解外，我们可能还希望找到其他非零解，这取决于方程组的系数。

2. 求解步骤

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1. 检查系数是否线性相关： 如果两组系数（即 $(a_1,b_1,c_1)$ 和 $(a_2,b_2,c_2)$）成比例（即存在一个非零常数 $k$ 使得 $a_1=k{a}_2,b_1=k{b}_2,c_1=k{c}_2$），则这两个方程实际上是同一个方程的重复，此时方程组有无穷多解（除了零解外，还包括所有满足该方程的 $x,y,z$ 的组合）。

2. 使用消元法或代入法求解： 如果系数不成比例，我们可以使用消元法（如高斯消元法）或代入法来求解。但在这个特定情况下，由于方程是齐次的，我们通常更关心的是找到非零解（如果存在的话）。

3. 寻找非零解： 如果方程组有非零解，这些解将形成一个向量空间，称为方程组的解空间。解空间中的任何非零向量都是方程组的一个非零解。为了找到这样的解，我们可以尝试将其中一个变量设为1（或其他非零值），然后解出其他变量。

3. 非零解
   $$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0\end{array}=>\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=-c_{1}z\\ a_{2}x+b_{2}y=-c_{2}z\end{array}$$
   $$\begin{gathered} x=\frac{\left|\begin{array}{cc}-c_{1}z& b_1\\ -c_{2}z& b_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|} \\ y=\frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_1& -c_{1}z\\ a_2& -c_{2}z\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|} \\ \left|\begin{array}{cc}-c_{1}z& b_1\\ -c_{2}z& b_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_2& c_2\end{array}\right|z \\ \left|\begin{array}{cc}{a}_1& -c_{1}z\\ a_2& -c_{2}z\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{c}_1& a_1\\ c_2& a_2\end{array}\right|z \\ \frac{z}{\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|}=k,z=k\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right| \\ x=k\left|\begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_2& c_2\end{array}\right|,y=k\left|\begin{array}{cc}{c}_1& a_1\\ c_2& a_2\end{array}\right| \end{gathered}$$
   $$\begin{gathered} 这种解法要求\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|\ne 0 \\ 这样的系数行列式还有两个，至少一个不为零，就可以用此法解。 \\ \left|\begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_2& c_2\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_2& c_2\end{array}\right| \end{gathered}$$
4. 上面解法，如果三个行列式都为0，此时方程组变换成一个方程

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示例

考虑方程组：

$$x+2y+3z=0$$ $$2x+4y+6z=0$$

这里，第二个方程实际上是第一个方程的两倍，所以它们线性相关。因此，方程组有无穷多解。为了找到非零解，我们可以选择 $z=1$（或任何其他非零值），然后解出 $x$ 和 $y$。

设 $z=1$，则第一个方程变为 $x+2y+3=0$。为了简化，我们可以选择 $y=1$（或任何其他值），然后解出
$x$。这里，$x=-2y-3=-2\cdot 1-3=-5$。

因此，一个非零解是 $x=-5,y=1,z=1$。注意，这不是唯一的非零解；通过选择不同的 $z$ 和 $y$ 值，我们可以找到其他非零解。

• 含有三个三元齐次线性方程的方程组
  $$\begin{gathered} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0 \\ {a}_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0 \\ {a}_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=0 \end{gathered}$$
  $\Delta \ne 0=>方程组的唯一的一组零解:x=y=z=0$
  $\Delta =0=>方程组有非零解$

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三元齐次线性方程组是指形如

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=0\\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=0\\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=0\end{array}$

的方程组，其中 $a_{ij}$ 是系数，且 $x,y,z$ 是未知数。当方程组有非零解时，意味着存在不全为零的 $x,y,z$
使得上述方程同时成立。

$\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ 3-y+2z=0\\ x-3y=0\end{array}$
$\Delta =0$

julia> Δ=[1 1 1;3 -1 2;1 -3 0]
3×3 Matrix{Int64}:
 1   1  1
 3  -1  2
 1  -3  0

julia> det(Δ)
0.0

julia>
$$

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& -1\end{array}\right|=-4\ne 0 \\ x=k\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 2\end{array}\right|=3k,y=k\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=k \\ z=k\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& -1\end{array}\right|=-4k \end{gathered}$$

高阶行列式

• 利用代数余子式简化计算
• 例题
  $$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cccc}1& 1& 3& 7\\ -1& -4& 2& 5\\ 7& 5& -3& 2\\ 11& 2& 9& -4\end{array}\right|， \\ 第一列-第二列，第一列\times 3-第三列，第一列\times 7-第四列 \\ \Rightarrow \left|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -1& -3& 5& 12\\ 7& -2& -24& -47\\ 11& -9& -24& -81\end{array}\right| \\ =1\times \left|\begin{array}{ccc}-3& 5& 12\\ -2& -24& -47\\ -9& -24& -81\end{array}\right| \end{gathered}$$

参考文献

1. 文心一言
2. 《高等数学讲义》