softmax 损失函数以及梯度推导计算

关注WX公众号： commindtech77，获得数据资产，推荐系统源码等相关白皮书下载地址

回复关键字：推荐系统
下载《新闻资讯个性化推荐系统源码及白皮书》

在考虑数值计算稳定性情况下的Softmax损失函数的公式如下：

$L_i=-log(\frac{e^{f_{yi}-max(f_j)} }{\sum_j{e^{f_j-max(f_j)}}} )$

对所有样本及计入正则化惩罚后，损失函数公式为：

$L = \frac{1}{N} \sum_i{Li}+\lambda W$

我们先从 Li看起。

f(i,j)即矩阵f(x,w)中的第i,j个元素。我们与之前一样求出样本集与权重集之间的评分集即可。

max(fj)即在第i个样本的所有分类得分中最大的得分。从式中看，评分集中的每一个元素都需要减去这个最大得分，这可以通过矩阵操作的广播机制来完成。同时，广播机制对指数运算也一样有效。因此损失函数可以计算为：

f = X.dot(W) # N by C 
# f_max是对第i行元素的所有分类计分求最大值，所以axis = 1
f_max = np.reshape(np.max(f, axis=1), (num_train, 1)) # N by 1 
# 对每个计分求归一化概率，这个概率是每个样本在不同类别上的分布。 N by C
prob = np.exp(f - f_max) / np.sum(np.exp(f - f_max), axis=1, keepdims=True)

for i in xrange(num_train): 
  for j in xrange(num_class): 
    if (j == y[i]):
      loss += -np.log(prob[i, j])) 

loss /= num_train 
loss += 0.5 * reg * np.sum(W * W)

这个损失函数计算的原理是，如果对于样本i，它的正确分类类别是j，那么如果 prob[i,j]的值为1，则说明分类正确，这种情况下对损失函数没有贡献。而如果分类错误，则prob[i,j]的值将是一个小于1的值，这种情况下将对损失函数有所贡献。优化权重将有可能使得prob[i,j]趋近于1，从而损失函数最小。在未经训练时，由于权重是随机生成的，因此应该每个分类的概率就是10%，因此 loss应该接近 -log (0.1) （在没有加正则化惩罚的情况下）.

梯度的推导如下：

上图中，

$p_{(i,m)}$

（注意这里字母p是小写）是样本的分类概率，是一个Cx1的向量（假设有C个分类的话）。当m为正确分类时，其值为1，其它元素取值为0。这里Pm是即P[i,m]，是样本i在第m个分类上的概率。在求损失函数时，我们已经得到了概率矩阵了，所以P[i,m]已知。

简书网友Deeplayer有一个类似的推导，省去了一些中间过程，更为简洁和清晰。

加上梯度后的softmax_loss_naive版本：

num_train = X.shape[0]
  num_classes = W.shape[1]  
  f = X.dot(W)  #N by C
  f_max = np.reshape(np.max(f, axis = 1), (num_train, 1))
  prob = np.exp(f - f_max)/np.sum(np.exp(f-f_max), axis = 1, keepdims = True)
  
  for i in xrange(num_train):
    for j in xrange(num_classes):
        if (j == y[i]):
            loss += -np.log(prob[i,j])
            dW[:,j] += (1 - prob[i,j]) * X[i]
        else:
            dW[:,j] -= prob[i,j] * X[i]
            
  loss /= num_train
  loss += 0.5 * reg * np.sum(W*W)
  dW = -dW / num_train + reg * W

从 softmax_loss_naive出发，看看如何去掉循环：

loss出现在内循环中，只不过只有当 j==y[i]时，我们才把 -np.log(prob[i,j])加上去。所以如果我们能找出 j!=y[i] 的那些元素，将其prob[i,j]置为1，从而np.log(prob[i,j]) == 0，这样就可以直接对矩阵求和了。在linear_svm.py中，我们使用margins[np.arange(num_train), y] = 0的方法来对少数元素的值做更新，但这里我们需要的条件是j!= y[i]，而非j==y[i]，所以还要再想别的办法。对dW矩阵而言，应该是先在prob的基础上作出一个新的矩阵，使其元素为 prob的对应元素的负数，然后将那些 j==y[i]的元素加上1，然后将这个新的矩阵与X相乘。这两个矩阵刚好都可以用下面的keepProb来实现。

下面的代码是 softmax.py中TODO：

#################################################################
# TODO: Compute the softmax loss and its gradient using no explicit loops.  #
# Store the loss in loss and the gradient in dW. If you are not careful     #
# here, it is easy to run into numeric instability. Don't forget the        #
# regularization!                                                        #
 ################################################################

的内容：

  num_train = X.shape[0]
  num_classes = W.shape[1]
  f = X.dot(W)  #N by C
  f_max = np.reshape(np.max(f, axis = 1), (num_train, 1))
  prob = np.exp(f - f_max)/np.sum(np.exp(f-f_max), axis = 1, keepdims = True)

  keepProb = np.zeros_like(prob)
  keepProb[np.arange(num_train), y] = 1.0
  loss += -np.sum(keepProb * np.log(prob)) / num_train + 0.5 * reg * np.sum(W*W)
  dW += -np.dot(X.T, keepProb - prob)/num_train + reg * W

softmax 损失函数以及梯度推导计算

悦读