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离散分布
常见的离散分布有二项分布、泊松分布、几何分布、负二项分布和多项分布等。 -
连续分布
指数分布、伽马分布等
二项分布、泊松分布、指数分布、几何分布、负二项分布、伽玛分布的联系：
1.伯努利分布
事件的结果往往只有两个。例如：检查某个产品的质量，其结果只有两个：合格或不合格。
其概率函数为：
P
(
x
)
=
p
x
(
1
−
p
)
1
−
x
=
{
p
if
x
=1
q
if
x
=0
P(x)=p^x(1-p)^{1-x}= \begin{cases} p & \text{if $x$=1} \\ q & \text{if $x$=0} \end{cases}
P(x)=px(1−p)1−x={pqif x=1if x=0
其期望值为：
E
(
x
)
=
∑
x
P
(
x
)
=
0
×
q
+
1
×
p
=
p
E(x)=\sum xP(x)=0\times q + 1\times p=p
E(x)=∑xP(x)=0×q+1×p=p
其方差为：
V
a
r
(
x
)
=
E
[
(
x
−
E
(
x
)
)
2
]
=
∑
(
x
−
p
)
2
P
(
x
)
=
p
q
Var(x)=E[(x-E(x))^2]= \sum (x-p)^2P(x) =pq
Var(x)=E[(x−E(x))2]=∑(x−p)2P(x)=pq
2. 二项分布
假设某个试验是伯努利试验，其成功概率用p表示，那么失败的概率为q=1-p。
进行n次这样的试验，成功了x次，则失败次数为n-x，发生这种情况的概率可用下面公式来计算：
P ( x ) = C n x p x ( 1 − p ) n − x = n ! x ! ( n − x ) ! p x ( 1 − p ) n − x P(x)=C_n^xp^x(1-p)^{n-x}= \frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} P(x)=Cnxpx(1−p)n−x=x!(n−x)!n!px(1−p)n−x
其中
C n x = n ! x ! ( n − x ) ! C_n^x=\frac{n!}{x!(n-x)!} Cnx=x!(n−x)!n!
二项分布的均值和方差分别为np和npq。
二项分布是一个概率分布族，随着试验次数n和成功概率p的不同而不同，且它与正态分布关系密切。
3、伽马分布，指数分布，泊松分布
- 泊松分布解决的是“在特定时间里发生n个事件的机率”。
- 指数分布解决的问题是“要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间”。
- 伽玛分布解决的问题是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”。伽玛分布可以看作是n个指数分布的独立随机变量的加总。
下面介绍三种分布的概率分布及图形
- 泊松分布：
- 指数分布
- 伽马分布
参考资料：
https://www.jianshu.com/p/59335680cc29 伯努利分布、二项分布
https://www.jianshu.com/p/6ee90ba47b4a 伽马分布，指数分布，泊松分布
https://zhuanlan.zhihu.com/p/32932782 一张图说明二项分布、泊松分布、指数分布、几何分布、负二项分布、伽玛分布的联系