本讲的主要内容：
- A x = b Ax=b Ax=b 的求解过程
- 讨论 A x = b Ax=b Ax=b 各种情况是否存在解
求解过程
这一部分使用的例子，这里我直接写成矩阵形式：
A
x
=
b
⇔
(
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
)
x
=
(
b
1
b
2
b
3
)
Ax=b\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 2\\ 2& 4 & 6 & 8\\ 3& 6 & 8 & 10 \end{pmatrix}x= \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix}
Ax=b⇔⎝⎛1232462682810⎠⎞x=⎝⎛b1b2b3⎠⎞
接下来使用写成增广矩阵的形式
(
A
,
b
)
(A,b)
(A,b) 进行消元：
(
1
2
2
2
b
1
2
4
6
8
b
2
3
6
8
10
b
3
)
⇒
(
1
2
2
2
b
1
0
0
2
4
b
2
−
2
b
1
0
0
0
0
b
3
−
b
2
−
b
1
)
\begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 2 & b_{1}\\ 2& 4 & 6 & 8 &b_{2}\\ 3& 6 & 8 & 10 &b_{3} \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 2 & b_{1}\\ 0& 0 & 2 & 4 &b_{2}-2b_{1}\\ 0& 0 & 0 & 0 &b_{3}-b_{2}-b_{1} \end{pmatrix}
⎝⎛1232462682810b1b2b3⎠⎞⇒⎝⎛100200220240b1b2−2b1b3−b2−b1⎠⎞
至此，我们可以很清楚的看到这个方程可解的条件：
b
3
−
b
2
−
b
1
=
0
b_{3} - b_{2}-b_{1} = 0
b3−b2−b1=0
对于方程
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b 方程可解的条件，或者说可解性（Solvability） 即（其实在之前列空间部分讲到过）：
- b b b 存在于 A A A 的列空间中，也就是 b ∈ C ( A ) b\in C(A) b∈C(A)
或者说：
- A A A 的行向量的线性组合为0的时候，右侧向量的组合也必须为0，也就是同步
那么，接下来来写出方程的完整解：
分为两个步骤：
- 1.找到方程的特殊解（particular solution）
- 2.找到方程的零空间的任意解（也就是基础解系）
为方便，取
(
b
1
b
2
b
3
)
=
(
1
5
6
)
\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 6 \end{pmatrix}
⎝⎛b1b2b3⎠⎞=⎝⎛156⎠⎞代入方程中，得到消元后增广矩阵：
(
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
)
\begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 2 & 1\\ 0& 0 & 2 & 4 &3\\ 0& 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}
⎝⎛100200220240130⎠⎞
按照求解的算法：
S
t
e
p
1
:
Step 1:
Step1: 求出特定解，也就是将所有的自由变量(free variables)赋值为0，接出来得到：
x
p
a
r
t
i
c
u
l
a
r
=
(
−
2
0
3
/
2
0
)
x_{particular} =\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0\end{pmatrix}
xparticular=⎝⎜⎜⎛−203/20⎠⎟⎟⎞
S t e p 2 : Step 2: Step2: 求出零空间的任意一个解，也就是求解对应的 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解，具体做法按照之前的算法，将所有的自由变量依次赋值为1，上述方程有两个自由变量，最终结果可以记作： x n u l l s p a c e = c 1 ( − 2 1 0 0 ) + c 2 ( 2 0 − 2 0 ) x_{nullspace}=c1\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}+c2\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2\\ 0\end{pmatrix} xnullspace=c1⎝⎜⎜⎛−2100⎠⎟⎟⎞+c2⎝⎜⎜⎛20−20⎠⎟⎟⎞,这个结果又叫做基础解系
S
t
e
p
3
:
Step 3:
Step3: 将上述两部分加起来即可得到完整解，也就是：
x
c
o
m
p
e
l
e
t
e
=
x
p
a
r
t
i
c
u
l
a
r
+
x
n
u
l
l
s
p
a
c
e
=
(
−
2
0
3
/
2
0
)
+
c
1
(
−
2
1
0
0
)
+
c
2
(
2
0
−
2
0
)
x_{compelete} = x_{particular} + x_{nullspace}=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0\end{pmatrix}+c1\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}+c2\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2\\ 0\end{pmatrix}
xcompelete=xparticular+xnullspace=⎝⎜⎜⎛−203/20⎠⎟⎟⎞+c1⎝⎜⎜⎛−2100⎠⎟⎟⎞+c2⎝⎜⎜⎛20−20⎠⎟⎟⎞
这个结果即为方程的所有解，这个结果证明如下：
{
A
x
p
a
r
t
i
c
u
l
a
r
=
b
A
x
n
u
l
l
s
p
a
c
e
=
0
⇒
A
(
x
p
a
r
t
i
c
u
l
a
r
+
x
n
u
l
l
s
p
a
c
e
)
=
b
\left\{\begin{matrix} A x_{particular} = b\\ A x_{nullspace} = 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(x_{particular} + x_{nullspace}) = b
{Axparticular=bAxnullspace=0⇒A(xparticular+xnullspace)=b
如果从图像中理解这个结果，也就是在四维空间中的一张平面（不太直观）：我们可以看到基础解系确定的是这个四维空间的一个过原点的平面，也就是
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0 的情况，将这个平面移动到过
x
p
a
r
t
i
c
u
l
a
r
x_{particular}
xparticular 这个点，此时，这个平面就表示结果。
讨论不同情况方程的可解性
总结对于一个 m × n m\times n m×n 的矩阵（秩为 r r r ）所有的解的可能情况：
- 1. m = n = r m=n=r m=n=r: 唯一解，没有自由变量，所以零空间只有零向量，所以解就等于特殊解，最后的形式为
- 2. r = m < n r=m<n r=m<n: 有无穷多解，有自由变量，零空间的存在无穷多向量。
- 3. r = n < m r=n<m r=n<m: 有唯一解或者只有0解，没有自由变量，所以零空间只有一个零向量，只存在特殊解，特殊解可能存在或者不存在。
- 4. r < m , r < n r<m,r<n r<m,r<n: 无解或者有无穷多解
这几个结论，其实只要画一下矩阵的大致形状就很好理解了。
以上~