第一部分：$Rodrigues$（罗德里格斯）公式描述的是：空间内的任意一个向量$\text{v}$，绕指定的旋转轴$\text{k}$旋转$\theta$角度，得到空间向量${\text{v}}^{\theta }$的过程。$Rodrigues$公式利用$\text{v}$，$\text{k}$和$\theta$来描述${\text{v}}^{\theta }$。

如图所示，空间内的向量$\text{v}$，绕着$z$轴旋转$\theta$，得到${\text{v}}^{\theta }$。已知$x$轴，$y$轴和$z$轴的方向向量分别是$\text{i}$，$\text{j}$和$\text{k}$。约定$<\text{a},\text{b}>$表示向量$\text{a}$到向量$\text{b}$的夹角。
对于空间向量$\text{v}$可以分解为三个坐标轴上的投影向量的矢量和：$\text{v}={\text{v}}_x+{\text{v}}_y+{\text{v}}_z$
其中：
${\text{v}}_y=\text{0}$
${\text{v}}_z=||\text{v}||\cdot \cos <\text{k},\text{v}>\cdot \text{k}=||\text{v}||\cdot ||\text{k}||\cdot \cos <\text{k},\text{v}>\cdot \text{k}=(\text{k}\cdot \text{v})\cdot \text{k}$
${\text{v}}_x=||\text{v}||\cdot \sin <\text{k},\text{v}>\cdot \text{i}$
对于${\text{v}}_x$来说，可以得到以下变换：
$||\text{v}||\cdot \sin <\text{k},\text{v}>=||\text{v}||\cdot ||\text{k}||\cdot \sin <\text{k},\text{v}>=||\text{k}\times \text{v}||$
$\text{i}=\text{j}\times \text{k}$，又有$\text{j}=\frac{\text{k}\times \text{v}}{||\text{k}\times \text{v}||}$，则$\text{i}=\frac{1}{||\text{k}\times \text{v}||}\cdot \text{k}\times \text{v}\times \text{k}$
因此，可以得到：${\text{v}}_x=||\text{k}\times \text{v}||\cdot \frac{1}{||\text{k}\times \text{v}||}\cdot \text{k}\times \text{v}\times \text{k}=\text{k}\times \text{v}\times \text{k}$

同理，对于${\text{v}}^{\theta }$也可以分解为${\text{v}}^{\theta }={\text{v}}_x^{\theta }+{\text{v}}_y^{\theta }+{\text{v}}_z^{\theta }$
其中：
${\text{v}}_z^{\theta }={\text{v}}_z$
${\text{v}}_x^{\theta }=||{\text{v}}_x||\cdot \cos \theta \cdot \text{i}={\text{v}}_x\cdot \cos \theta =\text{k}\times \text{v}\times \text{k}\cdot \cos \theta$
${\text{v}}_y^{\theta }=||{\text{v}}_x||\cdot \sin \theta \cdot \text{j}=||\text{v}||\cdot \sin <\text{k},\text{v}>\cdot \frac{\text{k}\times \text{v}}{||\text{k}\times \text{v}||}\cdot \sin \theta =\text{k}\times \text{v}\cdot \sin \theta$
因此，${\text{v}}^{\theta }=\text{k}\times \text{v}\times \text{k}\cdot \cos \theta +\text{k}\times \text{v}\cdot \sin \theta +(\text{k}\cdot \text{v})\cdot \text{k}$

另，由公式($\star$)$\text{a}\times \text{b}\times \text{c}=\text{b}(\text{a}\cdot \text{c})-\text{c}(\text{a}\cdot \text{b})$可以得到：
$$\begin{gathered} {\text{v}}^{\theta }=\text{v}(\text{k}\cdot \text{k})\cos \theta -\text{k}(\text{k}\cdot \text{v})\cos \theta +\text{k}\times \text{v}\cdot \sin \theta +(\text{k}\cdot \text{v})\cdot \text{k} \\ =\text{v}\cdot \cos \theta +\text{k}(\text{k}\cdot \text{v})(1-\cos \theta )+\text{k}\times \text{v}\cdot \sin \theta \end{gathered}$$

由此可以得到$Rodrigues$公式的结论。

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第二部分：$Rodrigues$（罗德里格斯）公式的矩阵描述形式。
上述第一部分主要从原理上证明了，$Rodrigues$（罗德里格斯）公式的向量表述形式，在实际使用的时候，常用到的是矩阵形式的表述。事实上，矩阵形式的表述也是由向量形式经过展开和推导得来的，下面简单描述一下其中的过程。

首先将上述公式变形如下：
$$\begin{gathered} {\text{v}}^{\theta }=\text{v}\cdot \cos \theta +\text{k}(\text{k}\cdot \text{v})(1-\cos \theta )+\text{k}\times \text{v}\cdot \sin \theta \\ =\text{v}-\text{v}+\text{v}\cdot \cos \theta +\text{k}(\text{k}\cdot \text{v})(1-\cos \theta )+\text{k}\times \text{v}\cdot \sin \theta \\ =\text{v}-(1-\cos \theta )\text{v}+(1-\cos \theta )(\text{k}\cdot \text{v})\text{k}+\sin \theta \cdot \text{k}\times \text{v} \\ =\text{v}+(1-\cos \theta )((\text{k}\cdot \text{v})\text{k}-\text{v})+\sin \theta \cdot \text{k}\times \text{v} \\ =\text{v}+(1-\cos \theta )((\text{k}\cdot \text{v})\text{k}-\text{v}(\text{k}\cdot \text{k}))+\sin \theta \cdot \text{k}\times \text{v} \end{gathered}$$

由公式($\star$)$\text{a}\times \text{b}\times \text{c}=\text{b}(\text{a}\cdot \text{c})-\text{c}(\text{a}\cdot \text{b})$可以得到：
${\text{v}}^{\theta }=\text{v}+(1-\cos \theta )(\text{k}\times \text{k}\times \text{v})+\sin \theta \cdot \text{k}\times \text{v}$

引入公式($†$)$\text{a}\times \text{b}=\text{A}\text{b}$，其中$\text{a}$和$\text{b}$是空间中的两个向量，$\text{A}$是向量$\text{a}$的“叉积矩阵”：
$$\text{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_z& a_y\\ a_z& 0& -a_x\\ -a_y& a_x& 0\end{array}\right]$$
因此，$\text{k}\times \text{v}=\text{K}\text{v}$，其中$\text{K}$是$\text{k}$的“叉积矩阵”，则$\text{k}\times \text{k}\times \text{v}={\text{K}}^2\text{v}$

由此可以得到：
$$\begin{gathered} {\text{v}}^{\theta }=\text{v}+(1-\cos \theta )(\text{k}\times \text{k}\times \text{v})+\sin \theta \cdot \text{k}\times \text{v} \\ =\text{v}+(1-\cos \theta )\cdot {\text{K}}^2\text{v}+\sin \theta \cdot \text{K}\text{v} \\ =\text{R}\text{v} \end{gathered}$$
其中：$\text{R}=\text{I}+\text{K}\sin \theta +{\text{K}}^2(1-\cos \theta )$

则上述${\text{v}}^{\theta }=\text{v}+\sin \theta \cdot \text{K}\text{v}+(1-\cos \theta )\cdot {\text{K}}^2\text{v}$是矩阵描述形式。

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第三部分：旋转矩阵与旋转向量的转化
由上述两个部分的阐述，可以得知，若一个空间矢量，围绕给定的方向轴旋转一个角度得到一个新的空间矢量，可以通过罗德里格斯公式来描绘，旋转前后两个矢量之间的相对关系。

由此可以设想，对于任意空间矢量$\text{v}$，可以在笛卡尔坐标系下分别绕三个坐标轴$\text{i}$，$\text{j}$，$\text{k}$旋转不同的角度：俯仰角$pitch$，偏航角$yaw$，翻滚角$roll$，则对于每一次相对单个坐标轴的旋转，都存在一个可以通过罗格里德斯公式来描述的旋转矩阵：
${\text{R}}_{pitch}=\text{I}+\sin \theta \cdot {\text{K}}_i+(1-\cos \theta )\cdot {\text{K}}_i^2$
${\text{R}}_{yaw}=\text{I}+\sin \theta \cdot {\text{K}}_j+(1-\cos \theta )\cdot {\text{K}}_j^2$
${\text{R}}_{roll}=\text{I}+\sin \theta \cdot {\text{K}}_k+(1-\cos \theta )\cdot {\text{K}}_k^2$
则两个空间矢量间的矩阵$\text{R}={\text{R}}_{pitch}{\text{R}}_{yaw}{\text{R}}_{roll}$。

由于空间平面可以由平面内的任意一点和平面的法向量唯一确定，则空间中两个法向量之间的关系，可以由罗德里格斯变换外加一个坐标系平移矢量联系起来时，则这两个平面也遵从相同的联系。这是在机器视觉中极为重要的应用。