如何快速制作质数表

众所周知，素数指的是只能被1以及自身整除的大于1的数。而质数的应用非常广泛，那么如何能快速制作一张质数表(质数表指从2~n所有质数组成的表)呢？

方法一：

开辟一个很长的bool类型数组（2~n），将其最小数i默认为质数，并将i出队列，然后删除所有i的倍数，反复以上过程可以得到一个从2开始到n之间所有的质数队列。

以上方法为欧几里得筛法，时间复杂度O（nlogn），空间复杂度O（n）

详情：欧几里德算法复杂度分析_jmhIcoding-CSDN博客_欧几里得算法复杂度

#include <iostream>
#include <ctime>

#define ll long long 
#define endl '\n'

using namespace std;
const unsigned ll maxnum = unsigned short(-1);  //maxnum = 65535
const unsigned ll n = 1000000;                  //
bool B[n];          //从2到n的数组默认为false:0(删除为1)
ll A[maxnum];       //定义质数表

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);

    clock_t start, end;
    start = clock();

    //计数器num,用于计数当前质数的数组下标
    ll num = 0;

    for (int i = 2; i < 10000000; ++i)
    {
        if (B[i]);//B[i]为真,B[i]非质数,该值被删除
        else
        {
            //B[i]为假,B[i]为质数,将其所有倍数删除
            A[num++] = i;
            for (int j = i << 1; j < n; j += i)
                B[j] = true;
        }
    }

    end = clock();
    cout << "所用时间 : " << (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
    //所用时间 : 0.07

    for (int i = 0; i <= num; ++i)
        cout << A[i] << endl;
}

方法二：

针对内存问题，方法二仅创建了质数表A[]。

很显然，任何一个合数i 必定存在一个小于等于sqrt(i)的质数A[i]为i的因子,就好比12=2*2*3,2<=sqrt(12); 9=3*3,3<=sqrt(9).【sqrt（i）表示i的开方并向下取整】

所以说，只需要遍历比i的开方小的所有质数，就可以知道i是否为质数

以下代码的主要思想就是在已有质数的基础上，对新加入元素进行判断。

时间复杂度O（n*sqrt（num）），空间复杂度O（num）【其中，num为小于n的质数个数】

#include <iostream>
#include <ctime>

#define ll long long 
#define endl '\n'

using namespace std;
const unsigned ll maxnum = unsigned short(-1);  //maxnum = 65535
ll A[maxnum];       //定义质数表

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);

    clock_t start, end;
    start = clock();

    A[0] = 2;

    //计数器num,用于计数当前质数的数组下标
    ll num = 0;

    //很显然除了2,只有奇数有可能为质数
    for (int i = 3; i < maxnum; ++++i)
    {
        bool f = true;
        //对于任意合数i,必定存在质数A[j]<=sqrt(i),使得A[j]为i的因子
        for (int j = 0; A[j] * A[j] <= i; ++j)
            if (i % A[j] == 0)
            {
                f = false;
                break;
            }
        if (f)  A[++num] = i;
    }

    end = clock();
    cout << "所用时间 : " << (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
    //所用时间 : 0.004

    //for (int i = 0; i <= num; ++i)
    //    cout << A[i] << endl;
}

很遗憾，对于方法一，无法在得到结果前精确知道要开辟多大的数组（）。而对于方法二，由于质数个数的不确定性无法准确计算其时间复杂度。

素数估计参考：素数个数求解与素数的判定_一只小箬蓟的博客-CSDN博客_素数个数1.素数质数（Prime number），又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）。2.素数的基本定理定理1：如果n不是素数，则n至少有一个( 1, sqrt(n) ]范围内的的因子定理2：如果n不是素数，则n至少有一个(1, sqrt(n) ]范围内的素数因子定理3：定义f(n)为不大于n的素数的个数，则 ...https://blog.csdn.net/weixin_43258754/article/details/90359944?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522164085396116780274113093%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334.pc%255Fall.%2522%257D&request_id=164085396116780274113093&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~first_rank_ecpm_v1~rank_v31_ecpm-2-90359944.pc_search_insert_es_download&utm_term=%E4%BC%B0%E8%AE%A1%E7%B4%A0%E6%95%B0%E7%9A%84%E4%B8%AA%E6%95%B0&spm=1018.2226.3001.4187

但总的来说，方法一的好处是在n非常大并且内存非常充裕（并且编译器允许，比如我的Visual Studio 2019就只能跑1e7左右）的情况下，速度可以近似nlong；而方法二不仅仅能将内存最大化利用，而且能精准控制素数的个数。而且两种方法都比暴力试除法时间复杂度O（n^1.5）来得好。

嗯，在一般比赛用方法二打印1e6个质数也就1ms左右，一般比赛是已经够用的了，如果要进一步优化可以试试在一开始A[]就多放入几个素数。

本期文章到此结束了，也是本人第一次在CSDN写文章，如果有什么不对的地方也请各位斧正一下，谢谢

如何快速制作质数表

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