【Petri网导论学习笔记】Petri网导论入门学习（六） —— 1.4 基本网系统与条件事件系统

1.4 基本网系统与条件事件系统

在 P/T 系统 $\Sigma=(S,T;F,K,W,M)$ ,若规定

$\forall s\in S:K(s)=1$

$\forall(x,y)\in F:W(x,y)=1$

得到的网系统称为基本网系统(elementary net system)。诚然，这时对标识 $M$ 也要有相应的约束条件

$\forall s\in S:M(s)\leqslant1$

其中基本网系统（简记为EN系统）是最简单的分布式系统模型

将P/T系统的权和库所的token流量都限制为1得到了基本网系统

$M (s) = 0, 1$

每个 $\in S$ 看作一个条件， $M (s) = 1$ 则视为条件成立，反之亦然。

每个 $\in T$ 看作一个事件， $^\cdot t$ 与 $t^\cdot$ 视为事件 $t$ 的前置条件集与后置条件集。

发生权：每个前置事件前置条件集都成立且后置条件集都不成立

发生后前置条件消失且后置条件都成立

在限制为1后，可以把每个库所抽象的看成一个条件，决定了后面变迁是否能发生，0和1的状态表明是否能发生

每个变迁看作成一个事件，t的前后对应库所也就是条件决定了他是否可以发生（需要前面的条件均满足和后面的条件均未满足才可以

在基本网系统中，习惯上用 $B$ 表示条件集，用 $E$ 表示事件集。EN 系统的形式定义给出如下：

定义 1.11

基本网系统是一个四元组 $\Sigma=(B,E;F,c)$ ,其中
$1) (B, E; F)$ 是一个网， $B$ 称为条件集(condition set), $E$ 称为事件集(event set), $c\subseteq B$ 称为 $\Sigma$ 的一
个情态(case)。
2)事件 $e\in E$ 在情态 $c$ 有发生权(记作 $c [e >)$ ,当且仅当
$^\bullet e\subseteq c\land e^\bullet\cap c=\emptyset$
3)若事件 $e$ 在情态 $c$ 发生，产生新的情态 $c^\prime($ 记作 $c[e>c^\prime)$ ,则
$c^{\prime}=(c-^\bullet e)\cup e^\bullet$

显然，三元组 $(B, E; F)$ 和初始情态 $c_0-$ 旦给出，就完全确定了一个 EN 系统。因此，一个基本网系统往往也是通过四元组 $\Sigma=(B,E;F,c_0)$ 来给定。
借助基本网系统完全情态集的概念可以定义条件事件系统。条件事件系统是一种很规范的基本网系统，对系统中的条件集、事件集和情态集都有严格的要求。

定义 1.12

设 $\Sigma=(B,E;F,c_0)$ 为一个基本网系统。满足下列条件的最小集合 $C\subseteq$ $\rho(B)(\rho(B)$ 是 $B$ 的幂集)称为 $\Sigma$ 的完全情态集(complete set of cases):

$c_0\in C;$
$\forall c\in C$ , 若存在 $e_1,e_2\in E$ 和 $c_1,c_2\subseteq B$ 使得
$$c_{1}[{e_{1}>c}&{\text{和}}&{c[{e_{2}>c_{2}}\}\$$

初始情态： $c_0$ 是系统的初始状态，必须包含在完全情态集中。

传递性条件：对于完全情态集中的任意一个情态 $c$ ,如果存在事件 $e_{1}$ 使得某个情态 $c_{1}$ 可以通过

$e_1$ 发生到 $c$ ,并且存在事件 $e_2$ 使得 $c$ 可以通过 $e_2$ 发生到另一个情态 $c_2$ ,那么这些情态 $c_1$ 和 $c_2$ 也必须包含在完全情态集中。

这个定义保证了完全情态集是一个闭合的集合，即对于任何在完全情态集中可以通过某些事件相互转换的情态，它们都包含在这个集合中。这样定义的完全情态集可以用于分析系统的行为和验证系统的性质。

定义 1.13

设 $\Sigma=(B,E;F,c_0)$ 为一个基本网系统， $C$ 是$ Σ$ 的完全情态集。若 $(B, E; F)$ 是一个简单网，而且
1 ) $\forall b\in B$ , $\exists c_1, c_2\in C$ , 使得 $b\in c_1$ $但$ $b\notin c_2$ ,

2） $\forall e\in E$ , $\exists c_1, c_2\in C$ ,使得 $c_1[e>c_2,$

基本网系统： $\Sigma = (B, E, F, c_0)$ 是一个基本网系统，其中 $B$ 是库所的集合， $E$ 是变迁的集合， $F$ 是流函数， $c_0$ 是初始情态。
完全情态集： $C$ 是 $\Sigma$ 的完全情态集，表示所有可能的情态集合。
简单网： $(B, E, F)$ 是一个简单网，意味着每个变迁 $e$ 的前置和后置库所集合是唯一确定的。

满足以下两个条件：

库所覆盖性：对于每个库所 $\in B$ ，存在两个情态 $c_1, c_2 \in C$ ，使得 $b$ 在 $c_1$ 中出现，但不在 $c_2$ 中。这意味着每个库所 $b$ 在某些情态中是标记的，而在另一些情态中是不标记的。

形式上： $\forall b \in B, \exists c_1, c_2 \in C, \text{使得} \ b \in c_1 \ \text{但} \ b \notin c_2$

变迁可达性：对于每个变迁 $\in E$ ，存在两个情态 $c_1, c_2 \in C$ ，使得 $c_1$ 通过变迁 $e$ 可以到达 $c_2$ 。这意味着每个变迁 $e$ 在某些情态下是可发生的。

形式上： $\forall e \in E, \exists c_1, c_2 \in C, \text{使得} \ c_1 [e \rangle c_2$

总结来说，简单位是一个满足特定条件的完全情态集，这些条件确保了每个库所和变迁在情态集中都有适当的表示和转换。这些条件帮助我们理解和分析系统的动态行为和结构性质。

条件事件系统是以一个完全情态集 $C\subseteq\rho(B)$ 作为其第四元组成的四元组，而不象基本网系统那样，第四元只是一个情态 $c_0\subseteq B$ (即 $c_0\in\rho(B)$ )。这是表现形式上的区别。其实质在于，完全情态集既包含了事件向前发生所产生的新情态，也包含了向后追索得到的各个情态。此外，条件事件系统同一般基本网系统的本质区别还有：在条件事件系统中，每个条件( $B$ 的元素)都有机会成真，也有机会成假，每个事件( $E$ 的元素)都有机会发生。

因为条件事件系统是以完全情态集作为第四元，所以都有机会成真。基本网系统第四元是初始情态所以在一些条件下，它并不能完全发生。

例 1.5

图 1.15 给出的是一个基本网系统 $\Sigma_1=(B,E;F,c_0)$ ,其中 $c_0=\{b_1,b_2\}$ 。从 $c_{0}$ 向前发生各个事件和向后追索得到的完全情态集为
$C=\{\:(b_1,b_2),\:(b_1,b_4),\:(b_1,b_6),\:(b_2,b_3),\:(b_2,b_5),\\(b_{3},b_{4}),\:(b_{3},b_{6}),\:(b_{4},b_{5}),\:(b_{5},b_{6}),\:(b_{7})\:\}$
考察四元组 $\Sigma=(B,E;F,C)$ ,由于每个 $b_i\in B$ ,都存在 $c_1,c_2\in C$ ,使得 $b_i\in c_1$ ,
但 $b_i\notin c_2$ ,且每个 $e_j\in E$ ,都存在 $c_1^\prime,c_2^{\prime}\in C$ 使得 $c_1^{\prime}[e_j>c_2^{\prime}$ 。所以， $\Sigma$ 是一个条件事件系统。

在这里插入图片描述

并不是从每个基本网系统都可以得到对应的C/E系统。例如，在图1.15 的基本网系统中，若把初始情态集改为 $c_0^{\prime}=\{b_1\}$ ,那么得到的完全情态集为
$C^{\prime}=\{\:\{b_{1}\},\:\{b_{3}\},\:\{b_{5}\}\:\}$
在 $\Sigma^{\prime}=(B,E;F,C^{\prime})$ 中，条件 $b_2,b_4,b_6$ 和 $b_7$ 没有机会成真，而事件 $e_3,e_5,e_6$ 和 $e_7$ 没有机会发生。所以 $\Sigma^\prime$ 不是一个条件事件系统(虽然 $\Sigma^\prime=(B,E;F,c_0^{\prime})$ 仍不失为一个基本网系统)。