1 介绍
本文档的内容参考了pyWavelet 0.1.6的User Guide和ver. 0.2.0的网上例子，主要是把我目前所需要的内容进行了翻译和整理得到的。 主要包含了1D、2D的分解与重构方法，和稳态小波分解重构等内容。 小波包的部分没有翻译，日后有需要的话可能增加。
下载地址：http://www.pybytes.com/pywavelets
安装：
easy_install PyWavelets==0.1.6
python setupegg.py install
python setup.py install
依赖的软件： numpy, matplotlib
pyWavelet的主要特点：
– 1D,2D正反离散小波变换（DWT，IDWT）
– 1D,2d稳态小波变换(SWT,Stationary Wavelet Transform)
– 1D,2D小波包分解重构
– 逼近小波函数和尺度函数
– 70多个内置小波滤波器，支持定制小波
– 单双精度支持
– 类似Matlab Wavelet Toolbox的使用
2 Wavelet
2.1 Wavelets families
>>>import pywt
>>>print pywt.families
即可显示软件内含的小波族：
[‘haar’, ‘db’, ‘sym’, ‘coif’, ‘bior’, ‘rbio’, ‘dmey’]
它们分别是：
l Haar (haar)
l Daubechies (db)
l Symlets (sym)
l Coiflets (coif)
l Biorthogonal (bior)
l Reverse biorthogonal (rbio)
l “Discrete” FIR approximation of Meyer wavelet (dmey)
2.2 wavelist（）
>>> import pywt
>>> print pywt.wavelist(‘coif’)
[‘coif1′, ‘coif2′, ‘coif3′, ‘coif4′, ‘coif5′]
该方法显示该小波族中包含的小波名称。
2.3 wave object
创建小波对象：Wavelet(name, filter_bank=None)
name：
小波名称
filter_bank:
使用用户提供的滤波器组。该滤波器组必须实现:
(dec_lo, dec_hi, rec_lo,rec_hi) =get_filters_coeffs()方法.
dec_lo,dec_hi:
分解滤波器值
rec_lo,rec_hi:
重构滤波器值
dec_len:
分解滤波器长度
rec_len:
重构滤波器长度
其他属性：
.family_name
.short_name
.orthogonal
.biorthogonal
.symmetry
.vanishing_moments_psi
.vanishing_moments_phi
示例：
>>> import pywt
>>> wavelet = pywt.Wavelet(‘db1′)
>>> print wavelet
Wavelet db1
Family name: Daubechies
Short name: db
Filters length: 2
Orthogonal: True
Biorthogonal: True
Symmetry: asymmetric
>>> print wavelet.dec_lo, wavelet.dec_hi
[0.70710678118654757, 0.70710678118654757] [-0.70710678118654757, 0.70710678118654757]
>>> print wavelet.rec_lo, wavelet.rec_hi
[0.70710678118654757, 0.70710678118654757] [0.70710678118654757, -0.70710678118654757]
2.4 wavefun()
wavefun()方法可以在给定的分解阶次上依据小波系数近似给出尺度函数（phi）和小波函数（psi）。
对于正交小波：
>>> import pywt
>>> wavelet = pywt.Wavelet(‘db2′)
>>> phi, psi = wavelet.wavefun(level=5)
对于双正交小波：
>>> import pywt
>>> wavelet = pywt.Wavelet(‘bior1.1′)
>>> phi_d, psi_d, phi_r, psi_r = wavelet.wavefun(level=5)
2.5 使用定制小波
略
3 离散小波变换（DWT）
3.1 1D一阶dwt
3.1.1 基本使用
dwt()函数用于完成一阶、1D的离散小波变换。
(cA, cD) = dwt(data, wavelet, mode=’sym’)
data
输入的信号可以是数值数组、python的list或其它可计数对象。如果数据不是double格式，则会被转成该格式。
wavelet
使用的小波的名称。可以是wavelist()中的，也可以是Wavelet对象的。
mode
信号拓展模式。见MODES。
例1：
>>> import pywt
>>> x = [3, 7, 1, 1, -2, 5, 4, 6]
>>> cA, cD = pywt.dwt(x, ‘db2′)
>>> print cA
[ 5.65685425 7.39923721 0.22414387 3.33677403 7.77817459]
>>> print cD
[-2.44948974 -1.60368225 -4.44140056 -0.41361256 1.22474487]
>>> print pywt.idwt(cA, cD, ‘db2′)
[ 3. 7. 1. 1. -2. 5. 4. 6.]
例2：
传递Wavelet对象时的用法：
>>> w = pywt.Wavelet(‘sym3′)
>>> cA, cD = pywt.dwt(x, wavelet=w, mode=’cpd’)
>>> print cA
[ 4.38354585 3.80302657 7.31813271 -0.58565539 4.09727044 7.81994027]
>>> print cD
[-1.33068221 -2.78795192 -3.16825651 -0.67715519 -0.09722957 -0.07045258]
注意这里输出的系数数组长度不只跟输入数据的长度有关，还和Wavelet类型有关（特别是它所使用的滤波器长度）。如果想查看输出数据的长度可以使用dwt_coeff_len()函数：
>>> pywt.dwt_coeff_len(data_len=len(x), filter_len=w.dec_len, mode=’sym’)
6
>>> pywt.dwt_coeff_len(len(x), w, ‘sym’)
6
>>> len(cA)
6
dwt_coeff_len（）函数的第三个参数是mode。
>>> pywt.MODES.modes
[‘zpd’, ‘cpd’, ‘sym’, ‘ppd’, ‘sp1′, ‘per’]
>>> [pywt.dwt_coeff_len(len(x), w.dec_len, mode) for mode in pywt.MODES.modes]
[6, 6, 6, 6, 6, 4]
从这个例子可以看到，per（periodization）模式与其他的略有不同，它被设计为输出系数刚好是输入数据长度的一半。所以，当你在做DWT和IDWT的时候，不要把per模式和其他模式混合起来用。
3.2.2 使用技巧
用None做其中一个系数数组时，等效于给一个全零数组（两个数组中最多只能有一个None）：
>>> print pywt.idwt([1,2,0,1], None, ‘db2′, ‘sym’)
[ 1.19006969 1.54362308 0.44828774 -0.25881905 0.48296291 0.8365163 ]
>>> print pywt.idwt([1, 2, 0, 1], [0, 0, 0, 0], ‘db2′, ‘sym’)
[ 1.19006969 1.54362308 0.44828774 -0.25881905 0.48296291 0.8365163 ]
>>> print pywt.idwt(None, [1, 2, 0, 1], ‘db2′, ‘sym’)
[ 0.57769726 -0.93125065 1.67303261 -0.96592583 -0.12940952 -0.22414387]
>>> print pywt.idwt([0, 0, 0, 0], [1, 2, 0, 1], ‘db2′, ‘sym’)
[ 0.57769726 -0.93125065 1.67303261 -0.96592583 -0.12940952 -0.22414387]
3.2.3 idwt中的系数长度。
做IDWT变换时，通常两个系数数组长度必须相等。但是，在有些情况下，如多阶次的DWT和IDWT变换时，允许两者的数量少许不同会比较方便。当设置了correct_size标志时，逼近系数可以比细节系数大1：
>>> print pywt.idwt([1, 2, 3, 4, 5], [1, 2, 3, 4], ‘db2′, ‘sym’, correct_size=True)
[ 1.76776695 0.61237244 3.18198052 0.61237244 4.59619408 0.61237244]
>>> print pywt.idwt([1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 4, 5], ‘db2′, ‘sym’, correct_size=True)
Traceback (most recent call last):
…
ValueError: Coefficients arrays must satisfy (0 <= len(cA) – len(cD) <= 1).
另外，要注意，不是所有的系数数组后可以使用IDWT，下面的例子所以失败，就是因为db4和sym模式的最小输出长度是4而不是3.
>>> pywt.idwt([1,2,4], [4,1,3], ‘db4′, ‘sym’)
Traceback (most recent call last):
…
ValueError: Invalid coefficient arrays length for specified wavelet. Wavelet and mode must be the same as used for decomposition.
3.3 多阶DWT, IDWT和SWT
wavedec()函数完成1D多阶次离散小波分解，返回系数数组list，[cAn, cDn, cDn-1, …, cD2, cD1]，n为分解阶次，cAn是逼近系数数组，后面的依次是细节系数数组。
wavedec(data, wavelet, mode=’sym’, level=None)
data : 输入信号
wavelet: 可以是来自wavelist()的小波名称，也可以是Wavelet对象。
mode: 信号拓展模式
level: 分解阶次。使用dwt_max_level（）时，计算信号能达到的最高分解阶次。
>>> import pywt
>>> x = [3, 7, 1, 1, -2, 5, 4, 6]
>>> db1 = pywt.Wavelet(‘db1′)
>>> cA3, cD3, cD2, cD1 = pywt.wavedec(x, db1)
>>> print cA3
[ 8.83883476]
>>> print cD3
[-0.35355339]
>>> print cD2
[ 4. -3.5]
>>> print cD1
[-2.82842712 0. -4.94974747 -1.41421356]
>>> pywt.dwt_max_level(len(x), db1)
3
>>> cA2, cD2, cD1 = pywt.wavedec(x, db1, mode=’cpd’, level=2)
dwt_max_level(data_len, filter_len) 等于 floor(log(data_len/(filter_len-1))/log(2))
多阶次重建
waverec(coeffs, wavelet, mode=’sym’)
>>> coeffs = pywt.wavedec(x, db1)
>>> print pywt.waverec(coeffs, db1)
[ 3. 7. 1. 1. -2. 5. 4. 6.]
3.4 多阶SWT分解
>>> x = [3, 7, 1, 3, -2, 6, 4, 6]
>>> (cA2, cD2), (cA1, cD1) = pywt.swt(x, db1, level=2)
>>> print cA1
[ 7.07106781 5.65685425 2.82842712 0.70710678 2.82842712 7.07106781
7.07106781 6.36396103]
>>> print cD1
[-2.82842712 4.24264069 -1.41421356 3.53553391 -5.65685425 1.41421356
-1.41421356 2.12132034]
>>> print cA2
[ 7. 4.5 4. 5.5 7. 9.5 10. 8.5]
>>> print cD2
[ 3. 3.5 0. -4.5 -3. 0.5 0. 0.5]
>>> [(cA2, cD2)] = pywt.swt(cA1, db1, level=1, start_level=1)
>>> print cA2
[ 7. 4.5 4. 5.5 7. 9.5 10. 8.5]
>>> print cD2
[ 3. 3.5 0. -4.5 -3. 0.5 0. 0.5]
>>> coeffs = pywt.swt(x, db1)
>>> len(coeffs)
3
>>> pywt.swt_max_level(len(x))
3
4 2D DWT和IDWT
4.1 2D一阶变换dwt2
dwt2(data, wavelet, mode=’sym’)
返回 (cA, (cH, cV, cD)), 分别是逼近、水平细节、垂直细节和对角线细节
>>> import pywt, numpy
>>> data = numpy.ones((4,4), dtype=numpy.float64)
>>> coeffs = pywt.dwt2(data, ‘haar’)
>>> cA, (cH, cV, cD) = coeffs
>>> print cA
[[ 2. 2.]
[ 2. 2.]]
>>> print cV
[[ 0. 0.]
[ 0. 0.]]
4.2 2D一阶重构idwt2
idwt2(coeffs, wavelet, mode=’sym’)
coeffs是tuple，(cA, (cH, cV, cD))。其余参数不再赘述。
4.3 2D多阶分解
wavedec2(data, wavelet, mode=’sym’, level=None)
该函数返回一个list, [cAn, (cHn, cVn, cDn), …, (cH1, cV1, cD1)]。例如：
>>> import pywt, numpy
>>> coeffs = pywt.wavedec2(numpy.ones((8,8)), ‘db1′, level=2)
>>> cA2, (cH2, cV2, cD2), (cH1, cV1, cD1) = coeffs
>>> print cA2
[[ 4. 4.]
[ 4. 4.]]
4.4 2D多阶重建
waverec2(coeffs, wavelet, mode=’sym’)
coeffs的形式与wavedec2()的分解结果相同。[cAn, (cHn, cVn, cDn), …, (cH1, cV1, cD1)]，例如：
>>> import pywt, numpy
>>> coeffs = pywt.wavedec2(numpy.ones((4,4)), ‘db1′)
>>> print “levels:”, len(coeffs)-1
levels: 2
>>> print pywt.waverec2(coeffs, ‘db1′)
[[ 1. 1. 1. 1.]
[ 1. 1. 1. 1.]
[ 1. 1. 1. 1.]
[ 1. 1. 1. 1.]]