本节介绍如何用Eigen求解线性最小二乘方程组。求解Ax=b的最小二乘问题，等价于求解方程

 使用Eigen的求解的代码如下：

    Eigen::MatrixXd MatX;//样本数据
    Eigen::MatrixXd MatY;//观测值
    Eigen::MatrixXd MatLS;//待定系数

    MatLS = (MatX.transpose() * MatX).inverse() * MatX.transpose() * MatY;

 直线拟合：

直线方程：y = k*x + b

//y = k*x + b
void least_square_line(double input[][2], int number, double&k, double&b){
    Eigen::MatrixXd MatX;
    Eigen::MatrixXd MatY;

    MatX.resize(number, 2);
    MatY.resize(number, 1);

    Eigen::MatrixXd MatLS;
    MatLS.resize(number, 1);
    for(int i = 0; i < number; ++i){
        MatX.row(i) = Eigen::Vector2d(input[i][0], 1);
        MatY(i, 0) = input[i][1];
    }

    MatLS = (MatX.transpose()*MatX).inverse()*MatX.transpose()*MatY;
    //MatLS = MatX.colPivHouseholderQr().solve(MatY); //也可以用

    k = MatLS(0,0);
    b = MatLS(1,0);
}

曲线拟合：

 多项式方程：Pn(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(1)x+a(0)

//y = a0 + a1*x + a2*x*x + a3*x*x*x + a4*x*x*x*x + a5*x*x*x*x*x;
void least_square_curve(double input[][2], int number, int jie, std::vector<double>&weight){
    Eigen::MatrixXd MatX;
    Eigen::MatrixXd MatY;

    MatX.resize(number, jie);
    MatY.resize(number, 1);

    Eigen::MatrixXd MatLS;
    MatLS.resize(number, 1);
    for(int i = 0; i < number; ++i){
        std::vector<double> pows;
        for(int j = 0; j < jie; j++){
           double p =  pow(input[i][0], j);
           MatX(i, j) = p;
        }

        MatY.row(i)[0] = input[i][1];
    }

    MatLS = (MatX.transpose()*MatX).inverse()*MatX.transpose()*MatY;
    for(int i = 0; i < jie; i++)
       weight.push_back(MatLS(i, 0)) ;
}

3阶多项式

5阶多项式：

7阶多项式：

平面拟合： 

 平面方程：Ax+By+Cz+D=0

//z = A*x + B*y + C
void Least_squares_plane(double input[][3], int number, double& A, double& B, double& C)
{
    Eigen::MatrixXd MatX;
    Eigen::MatrixXd MatY;

    MatX.resize(number, 3);
    MatY.resize(number, 1);

    Eigen::MatrixXd MatLS;
    MatLS.resize(number, 1);
    for (int i = 0; i < number; ++i) {
        MatX.row(i) = Eigen::RowVector3d(input[i][0], input[i][1],1);
        MatY.row(i)[0] = input[i][2];
    }

    MatLS = (MatX.transpose() * MatX).inverse() * MatX.transpose() * MatY;
    A = MatLS(0, 0);
    B = MatLS(1, 0);
    C = MatLS(2, 0);

}

以该3D模型的每个三角形面片的顶点为观测数据：

拟合的平面如下：

高斯拟合：

 高斯函数

//ln(z) = A + B*x + C*y + D*x*x + E*y*y
//z = exp(A + B*x + C*y + D*x*x + E*y*y)
void Least_squares_gaussian(double input[][3], int number, double& A, double& B, double& C, double& D, double& E)
{
    Eigen::MatrixXd MatX;
    Eigen::MatrixXd MatY;

    MatX.resize(number, 5);
    MatY.resize(number, 1);

    Eigen::MatrixXd MatLS;
    MatLS.resize(number, 1);
    for (int i = 0; i < number; ++i) {
        Eigen::Matrix<double, 5, 1> row;
        row << 1 , input[i][0] , input[i][1] , input[i][0] * input[i][0] , input[i][1] * input[i][1];
        MatX.row(i) = row;
        MatY.row(i)[0] = log(input[i][2]);
    }

    MatLS = (MatX.transpose() * MatX).inverse() * MatX.transpose() * MatY;
    A = MatLS(0, 0);
    B = MatLS(1, 0);
    C = MatLS(2, 0);
    D = MatLS(3, 0);
    E = MatLS(4, 0);
}

同样以该3D模型的顶点为观测数据

拟合高斯面如下：