智能优化算法应用：基于差分进化算法的Otsu图像多阈值分割-附代码

1.Otsu阈值分割法原理

Otsu 阈值分割法是日本学者 Otsu 提出来的。假设图像大小为 $M\times N$，图像灰度级范围为$［0，L－1］$，$n_i$为图像灰度级 $i$ 的像素点数，灰度级 $i$ 出现的概率为:$p_i=n_i/(M\times N)$;对于单阈值分割，图像被分割为两类，灰度级为$［0，T］$的像素点归为 $C_0$ 类，灰度级为$［T+1，L－1］$的像素点为 $C_1$ 类。设 $P_0(T)、P_1(T)$ 分别表示$C_0$ 类和 $C_1$ 类的出现的概率;$u_0(T)，u_1(T)$ 表示 $C_0$ 类和 $C_1$ 类的平均灰度级。则有:
$$P_0(T)=\sum _{i=0}^T{p}_i\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$P_1(T)=\sum _{i=T+1}^{L-1}{p}_i=1-P_0(T)\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$u_0(T)=\sum _{i=0}^T(i\frac{p_i}{P_0(T)})\text{\hspace{1em}(3)}$$

$$u_1(T)=\sum _{i=T+1}^{L-1}(i\frac{p_i}{P_1(T)})\text{\hspace{1em}(4)}$$

图像的平均灰度级表示为:
$$u=\sum _{i=1}^{L}i{p}_i=P_0(T)u_0(T)+P_1(T)u_1(T)\text{\hspace{1em}(5)}$$
图像的类间方差${\delta }_b^2(T)$表示为:
$${\delta }_b^2(T)=P_0(T)(u_0(T)-u{)}^2+P_1(T)(u_1(T)-u{)}^2\text{\hspace{1em}(6)}$$
图像的类内方差 ${\delta }_w^2(T)$ 表示为
$${\delta }_w^2(T)=P_0(T)u_0^2(T)+P_1(T)u_1^2(T)\text{\hspace{1em}(7)}$$
当类间方差达到最大时该灰度级为最优分割阈值，即Otsu 阈值:
T ∗ = a r g m a x ( l ≤ T < L ) { δ b 2 ( T ) } (8) T^* = argmax_{(l\leq T<L)} \{\delta_b^2(T) \}\tag{8} T∗=argmax(l≤T<L)​{δb2​(T)}(8)
或者当类内方差达到最小时对应的阈值为最优分割阈值:
T ∗ = a r g m i n ( l ≤ T < L ) { δ w 2 ( T ) } (9) T^* = argmin_{(l\leq T<L)} \{\delta_w^2(T) \}\tag{9} T∗=argmin(l≤T<L)​{δw2​(T)}(9)
单阈值 Otsu 分割法可以扩展到多级阈值分割法。假设有$n-1$个阈值$T_1,T_2,...,T_{n-1}$ 将图像分为$n$类，表示为 C 0 = { 0 , 1 , . . . , T 1 } , . . . . , C n = { T n − 1 + 1 , T n − 1 + 2 , . . . , L − 1 } C_0=\{0,1,...,T_1\},....,C_n=\{T_{n-1}+1,T_{n-1}+2,...,L-1\} C0​={0,1,...,T1​},....,Cn​={Tn−1​+1,Tn−1​+2,...,L−1},各类出现的概率分别表示为$P_0,P_1,...,P_{n-1}$,方差表示为${\delta }_0^2,{\delta }_1^2,...,{\delta }_{n-1}^2$,均值为$u_0,u_1,...,u_{n-1}$。

则有:
$$P_k=\sum _{i=T_k}^{T_{k+1}-1}{p}_i\text{\hspace{1em}(10)}$$

$$u_k=\frac{1}{P_k}{P}_k\sum _{i=T_k}^{T_{k+1}-1}i{p}_i\text{\hspace{1em}(11)}$$

$${\delta }_k^2=\sum _{i=T_k}^{T_{k+1}-1}(i-u_k{)}^2\frac{p_i}{P_k}\text{\hspace{1em}(12)}$$

其中$k=0，1，\dots ，n-1;T_0=0，T_n=L$。则图像的类间方差表示为:
$${\delta }_b^2=\sum _{i=0}^{n-1}{P}_i{\delta }_i^2\text{\hspace{1em}(13)}$$
多级最优分割阈值:
{ T 1 ∗ , T 2 ∗ , . . . , T n − 1 ∗ } = a r g m a x ( l ≤ T < L ) { δ b 2 } (14) \{T_1^*,T_2^*,...,T_{n-1}^*\} =argmax_{(l\leq T<L)} \{\delta_b^2 \} \tag{14} {T1∗​,T2∗​,...,Tn−1∗​}=argmax(l≤T<L)​{δb2​}(14)
或者:
{ T 1 ∗ , T 2 ∗ , . . . , T n − 1 ∗ } = a r g m i n ( l ≤ T < L ) { δ w 2 } (15) \{T_1^*,T_2^*,...,T_{n-1}^*\} =argmin_{(l\leq T<L)} \{\delta_w^2 \} \tag{15} {T1∗​,T2∗​,...,Tn−1∗​}=argmin(l≤T<L)​{δw2​}(15)

2.基于差分进化优化的多阈值分割

由上述Otsu阈值分割法的原理可知，要得到最终的阈值，需要去寻找阈值，使得类间方差值最大或类内方差值最小。于是可以利用智能优化算法进行阈值的寻优，使得获得最佳阈值。

于是优化的适应度函数就是：
f u n { T 1 ∗ , T 2 ∗ , . . . , T n − 1 ∗ } = a r g m a x ( l ≤ T < L ) { δ b 2 } (14) fun\{T_1^*,T_2^*,...,T_{n-1}^*\} =argmax_{(l\leq T<L)} \{\delta_b^2 \} \tag{14} fun{T1∗​,T2∗​,...,Tn−1∗​}=argmax(l≤T<L)​{δb2​}(14)
设置阈值分割的个数，寻优边界为0到255（因为图像的像素值范围为0-255）,设置相应的差分进化算法参数。
差分进化算法原理请参考：网络博客

3.算法结果：

以lena图像为例：

4.参考文献：

[1]袁小翠,黄志开,马永力,刘宝玲.Otsu阈值分割法特点及其应用分析[J].南昌工程学院学报,2019,38(01):85-90+97.

5.Matlab代码：