利用博文《最优化方法Python计算：线性规划的标准化》定义的standardizing函数、《最优化方法Python计算：标准型线性规划的单纯形算法》定义的simplex函数、《最优化方法Python计算：标准型线性规划的辅助问题》定义的prepro函数和《最优化方法Python计算：辅助问题最优解的预后处理》定义的prognostic函数装配成如下的求解一般形式线性规划
$$\{\begin{array}{l}\text{minimize}{\mathbf{c}}^{\top }\mathbf{x}\\ \text{s.t. }{\mathbf{A}}_{iq}\mathbf{x}\le {\mathbf{b}}_{iq}\\ {\mathbf{A}}_{eq}\mathbf{x}={\mathbf{b}}_{eq}\\ \mathbf{x}\ge \mathbf{o}\end{array}(1)$$
的linprog函数

import numpy as np
def linprog(c, Aiq=None, biq=None, Aeq=None, beq=None):
    if isinstance(Aiq, np.ndarray):
        nx = Aiq.shape[1]
    else:
        nx = Aeq.shape[1]
    A, b = standardizing(Aiq, biq, Aeq, beq)
    E, Bind1 = prepro(A)
    m, n = A.shape
    c = np.concatenate((c, np.zeros(n - c.size)), axis = 0)
    n1 = E.shape[1]
    A1 = np.hstack((A, E))
    Nind1 = np.setdiff1d(np.arange(n + n1), Bind1)
    if n1 > 0:
        c1 = np.concatenate((np.zeros(n), np.ones(n1)), axis = 0)
        Bindst = simplex(A1, b, c1, Bind1, Nind1)
        Bst = A1[:, Bindst]
        Bst1 = np.linalg.inv(Bst)
        xBst = np.matmul(Bst1, b.reshape(m, 1)).flatten()
        art = np.where(Bindst >= n)[0]
        if art.size > 0 and not(np.abs(xBst[art]) < 1e-10).all():
            print('不可行问题...', end=',')
            Bind = None
        else:
            A, Bindst, b=prognostic(A, E, Bindst, b)
            Nindst = np.setdiff1d(np.arange(n), Bindst)
            Bind = simplex(A, b, c, Bindst, Nindst)
    else:
        Bind = simplex(A, b, c, Bind1, Nind1)
    if isinstance(Bind, np.ndarray):
        x = np.zeros(n)
        B = A[:, Bind]
        B1 = np.linalg.inv(B)
        xB = np.matmul(B1, b.reshape(b.size, 1)).flatten()
        x = np.zeros(n)
        x[Bind] = xB
        if n > nx:
            x=(x[:nx],x[nx:])
    else:
        x = None
    return x

程序的第2~41行定义的linprog函数接受的参数参数c表示目标函数的系数向量，Aiq，biq表示不等式约束的系数矩阵和常数向量。Aeq，beq表示等式约束的系数矩阵和常数向量。
函数体中，第3~6行的if-else语句记录原问题决策变量数于nx。第7行调用standardizing函数将输入的线性规划问题标准化，返回标准型等式约束的系数矩阵A和常数向量b。第8行调用prepro函数构造原问题标准型的辅助问题，返回值赋予E和Bind1表示添加的人工变量的系数矩阵和辅助问题的初始基矩阵。第14~29行的if-else语句根据是标准型问题否添加了人工变量，决定一次直接解决原问题（第29行的操作）还是通过两个阶段完成计算（第15~27行的操作）。对有人工变量的情形，第16行调用simplex函数，完成第一阶段求解辅助问题的最优解。返回值赋予表示辅助问题最优解对应的基矩阵${\mathbf{B}}^{\ast }$向量下标集的Bindst。第17~20行根据Bindst算得问题辅助问题的最优解中对应人工变量非零值的片段art。第21~27行的内嵌if-else语句根据art是否为空判定标准型原问题是否可行。第22~23行处理不可行情形，第25~27行处理可行情形。其中，第25行调用prognostic函数对第一阶段算得的${\mathbf{B}}^{\ast }$以及标准型的$\mathbf{A}$与$\mathbf{b}$作预后处理。第27行用重构的标准型问题的系数矩阵A，常数向量b即其初始基矩阵列向量下标Bindst，再次调用simplex，完成第二阶段计算。第30~40行的if-else语句根据当前表示标准型问题最终基矩阵是否为空集，计算最终解x。若基矩阵为空集，意味着原问题不可行或无界，第40行将x置为空。否则第31~38行利用Bind构造标准型问题的最优解x。其中，第37~38行的if语句对具有松弛变量的情形，将最优解分解成原问题变量部分（x[:nx]）和松弛变量部分（x[nx:]）。利用linprog函数可求解各种形式的线性规划问题。
综合案例： 一个农民承包了6块耕地，共300亩。准备播种小麦、玉米、蔬菜、瓜果这4种农产品。每个地块由于土质地形不一样，单位面积不同作物的收益是不一样的，如下表所示（本案例数据来自https://opt.aliyun.com/platform/case}）。

6块地的面积分别为42，56，44，39，60和59亩。四种作物分别最多种植76，88，40和96亩。问题是如何安排种植计划，即在没块地中如何安排4种植物种植面积，可以得到最大的总收益。
记设第$i$中植物在第$j$块地的种植面积为$s_{ij}$，$i=1,2,3,4$，$j=1,2,3,4,5,6$。根据上表，记
$$\mathbf{P}=(p_{ij}{)}_{4\times 6}=\left(\begin{array}{cccccc}500& 550& 630& 1000& 800& 700\\ 800& 700& 600& 950& 90& 930\\ 1200& 1040& 980& 860& 880& 780\\ 1000& 960& 840& 650& 600& 700\end{array}\right),$$
则总收益为
$$f=\sum _{i=1}^4\sum _{j=1}^6{p}_{ij}{s}_{ij}.$$
受地块大小的限制，有
$$\begin{array}{l}\sum _{i=1}^4{s}_{i1}\le 42,\\ \sum _{i=1}^4{s}_{i2}\le 46,\\ \sum _{i=1}^4{s}_{i3}\le 44,\\ \sum _{i=1}^4{s}_{i4}\le 39,\\ \sum _{i=1}^4{s}_{i5}\le 60,\\ \sum _{i=1}^4{s}_{i6}\le 59.\end{array}$$
又由于每种作物的最大种植面积的限制，有
$$\begin{array}{l}\sum _{j=1}^6{s}_{1j}\le 76,\\ \sum _{j=1}^6{s}_{2j}\le 88,\\ \sum _{j=1}^6{s}_{3j}\le 40,\\ \sum _{j=1}^6{s}_{4j}\le 96.\end{array}$$
为便于将问题表示成线性规划模型，令$k=6(i-1)+j$（$i=1,2,3,4$，$j=1,2,3,4,5,6$），则$s_{ij}=x_k$，$p_{ij}=c_k$，$k=1,2,\cdots ,24$。于是，本问题模型化为线性规划：
$$\{\begin{array}{l}\text{maximize}\sum _{k=1}^{24}{c}_k{x}_k\\ \text{s.t. }\sum _{i=1}^4{x}_{6(i-1)+1}\le 42,\\ \sum _{i=1}^4{x}_{6(i-1)+2}\le 46,\\ \sum _{i=1}^4{x}_{6(i-1)+3}\le 44,\\ \sum _{i=1}^4{x}_{6(i-1)+4}\le 39,\\ \sum _{i=1}^4{x}_{6(i-1)+5}\le 60,\\ \sum _{i=1}^4{x}_{6(i-1)+6}\le 59,\\ \sum _{j=1}^6{x}_j\le 76,\\ \sum _{j=1}^6{x}_{6+j}\le 88,\\ \sum _{j=1}^6{x}_{12+j}\le 40,\\ \sum _{j=1}^6{x}_{18+j}\le 96.\end{array}$$
记$\mathbf{c}=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_{24}\end{array}\right)$，$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_{24}\end{array}\right)$，
$${\mathbf{A}}_{iq}=\left(\begin{array}{cccccccccccccccccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right),$$
$${\mathbf{b}}_{iq}^{\top }=(42,46,44,39,60,59,76,88,40,96).$$
则线性规划的矩阵形式为
$$\{\begin{array}{l}\text{minmize}-{\mathbf{c}}^{\top }\mathbf{x}\\ \text{s.t.}{\mathbf{A}}_{iq}\mathbf{x}\le {\mathbf{b}}_{iq}\\ \mathbf{x}\ge \mathbf{o}\end{array}.$$
下列代码完成本案例的求解计算。

import numpy as np										#导入numpy
from fractions import Fraction as F						#设置输出格式
np.set_printoptions(formatter = {'all':lambda x:
                               str(F(x).limit_denominator())})
P = np.array([[500, 550, 630, 1000, 800, 700],			#单位面积收益矩阵
              [800, 700, 600, 950, 90, 930],
              [1200, 1040, 980, 860, 880, 280],
              [1000, 960, 840, 650, 600, 700]])
c = -P.flatten()										#目标函数系数向量
Up = np.eye(6)
Lo = np.zeros((4, 6))
Lo[0] = np.ones(6)
for i in range(3):										#构造系数矩阵组成块
    Up = np.hstack((Up, np.eye(6)))
    T = np.zeros((4, 6))
    T[i + 1] = np.ones(6)
    Lo = np.hstack((Lo,T))
Ai = np.vstack((Up, Lo))								#不等式约束系数矩阵
bi = np.array([42, 46, 44, 39, 60, 59, 76, 88, 40, 96])	#常数向量
linprog(c, Ai, bi)

程序的第5~8行将表格所列数据构造矩阵P。第9行按行优先顺序将P扁平化为并取负值赋予表示目标函数系数向量的c。注意到问题的不等式约束矩阵${\mathbf{A}}_{iq}$的结构：前6行由4个6阶单位阵并列而成。后4行由4个$4\times 6$的矩阵并列而成，每一个均有一行全为1，其余元素为0。元素为1的行位于第$i$行，$i=1,2,3,4$。按此观察，程序的第10行将Up初始化为6阶单位阵，第11~12行将Lo初始化为第1行元素为1，其余元素全为0的$4\times 6$矩阵。第13~17行的for循环，将Up和Lo分别组成系数矩阵${\mathbf{A}}_{iq}$的前6行和后4行。第18行将Up和Lo纵向叠加为系数矩阵，赋予Ai。第19行设置不等式约束的常数向量${\mathbf{b}}_{iq}$为bi。运行程序，输出

(array([0, 0, 0, 16, 60, 0, 0, 0, 0, 23, 0, 59,
        40, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 46, 44, 0, 0, 0]),
 array([0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 4]))

意为问题的最优解为${\mathbf{x}}_0^{\top }=(0,0,0,16,60,0,0,0,0,23,0,59,40,0,0,0,0,0,2,46,44,0,0,0)$，松弛变量对应值为$(x_{25},x_{26},x_{27},x_{28},x_{29},x_{30},x_{31},x_{32},x_{33},x_{34})=(0,0,0,0,0,0,0,6,0,4)$。即小麦在4号地块种植16亩，第5号地块种植60亩；玉米在4号地块种23亩，6号地块种59亩；蔬菜在1号地块种40亩；瓜果在1号地块种2亩，2号地块种46亩，3号地块种44亩可使收益最大。松弛变量$x_{32}=6$意味着玉米实际种植面积距最大计划种植面积少6亩。相仿地，瓜果实际种植面积比最大计划种植面积少$x_{34}=4$亩。
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