例子：协方差的计算步骤

协方差是用于衡量两个随机变量之间的线性相关性的统计量。它表示两个变量如何一起变化。如果协方差为正，表示两个变量倾向于同方向变化；如果为负，表示它们倾向于反方向变化。

下面我们将通过一个具体的例子，详细说明如何计算协方差。

示例数据

假设我们有两个变量 $X$ 和 $Y$，它们的观测值如下：

我们将计算变量 $X$ 和 $Y$ 的协方差。

计算步骤

步骤1：计算 $X$ 和 $Y$ 的均值

首先，计算 $X$ 和 $Y$ 的均值（平均值）。

计算 $X$ 的均值 $\bar{X}$：
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=\frac{2+4+6+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6$$

计算 $Y$ 的均值 $\bar{Y}$：
$$\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i=\frac{5+9+12+15+17}{5}=\frac{58}{5}=11.6$$

步骤2：计算每个样本的偏差乘积

对于每个样本，计算 $(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})$。

步骤3：求偏差乘积的和

将所有样本的 $(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})$ 相加：
$$\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})=26.4+5.2+0+6.8+21.6=60$$

步骤4：计算协方差

协方差的公式为：
$$\text{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})$$

将上述计算结果代入：
$$\text{Cov}(X,Y)=\frac{1}{5}\times 60=12$$

因此，变量 $X$ 和 $Y$ 的协方差为 12。

总结

通过以上步骤，我们计算出了 $X$ 和 $Y$ 的协方差为 12，表示 $X$ 和 $Y$ 之间存在正向的线性关系。当 $X$ 增大时， $Y$ 也倾向于增大。

额外说明

• 协方差的符号：

  • 正值：表示两个变量倾向于同方向变化。
  • 负值：表示两个变量倾向于反方向变化。
  • 零或接近零：表示两个变量之间没有线性关系。

• 单位： 协方差的单位是 $X$ 和 $Y$ 单位的乘积，因此不易直接比较大小。

• 标准化协方差（相关系数）： 为了消除量纲的影响，可以计算 皮尔逊相关系数，其计算公式为：
  $$r_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{s_X{s}_Y}$$

  其中 $s_X$ 和 $s_Y$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的标准差。

计算标准差和相关系数

计算 $X$ 的标准差 $s_X$：
$$s_X=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}$$

先计算 $(X_i-\bar{X}{)}^2$：

求和：
$$\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=16+4+0+4+16=40$$

计算标准差：
$$s_X=\sqrt{\frac{40}{5}}=\sqrt{8}\approx 2.8284$$

计算 $Y$ 的标准差 $s_Y$：

同样地，计算 $(Y_i-\bar{Y}{)}^2$：

求和：
$$\sum _{i=1}^n(Y_i-\bar{Y}{)}^2=43.56+6.76+0.16+11.56+29.16=91.2$$

计算标准差：
$$s_Y=\sqrt{\frac{91.2}{5}}=\sqrt{18.24}\approx 4.2720$$

计算相关系数 $r_{XY}$：
$$r_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{s_X{s}_Y}=\frac{12}{2.8284\times 4.2720}=\frac{12}{12.092}\approx 0.9923$$

因此， $X$ 和 $Y$ 的相关系数约为 0.9923，表示它们之间存在非常强的正线性关系。

结论

通过这个例子，我们详细地演示了协方差的计算步骤：

1. 计算均值：求 $X$ 和 $Y$ 的均值 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$。
2. 计算偏差乘积：对每个样本计算 $(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})$。
3. 求和并平均：将所有偏差乘积相加，除以样本数 $n$，得到协方差。
4. （可选）计算相关系数：计算标准差，进一步求得相关系数，以量化变量之间的线性关系强度。

希望这个例子能帮助您理解协方差的计算方法。