全波形反演之卷积、自相关、互相关（1）

全波形反演的任务是通过地震记录推演出速度模型。

严格意义上，从公式的角度，地震记录是反射系数与地震子波的卷积。

其中反射系数与地层速度、密度有关；

地震子波常常用雷克子波表示；

卷积与深度学习的卷积有区别。地震记录合成的数学过程如下图所示：

通过上图可知，地震记录与速度、密度、子波有关，如果依据地震记录反演速度模型，还需要对速度、子波有较为准确的估计才行。本篇博客的重点，我们将先介绍卷积（即信号处理中的卷积），以及和卷积容易混淆的自相关、互相关。

1、卷积的物理意义

1）引言

简单来说，卷积=历史过程对现在的影响。

考虑以下积分的物理意义：

$\int_{-\infty}^{t}f(\tau )h(t-\tau )d \tau$ , 比如， $\tau$ 是过去某时刻， t 是当前时刻， $f(\tau )$ 就是 $\tau$ 时刻打的一巴掌的痛苦程度， $h(t-\tau )$ 就是过了 $t-\tau$ 秒后痛苦的衰减函数，只与现在时刻t和过去时刻τ的时间差有关， $f(\tau )h(t-\tau )$ 就表示 $\tau$ 时刻的一巴掌在 t 时刻的痛苦程度。

因此，积分后表示过去所有时刻效果的累加。

2）卷积

$f(t)\ast h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau )h(t-\tau )d \tau$

此时，积分区间发生了变化，从负无穷变成了正无穷。

当 $t-\tau$ 为负数时，即 $\tau$ 超过 t 时，表示未来时刻的一巴掌对时刻 t 的痛苦程度。

显然，卷积的普遍的意义表示过去，现在和将来过程（即所有时刻）对现在的影响的累加。

但现实中存在的物理系统都是因果系统，也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关，所以系统函数 h(t) 在 t＜0 的值为0，所以此时卷积的物理意义也就表示，过去所有时刻对现在的影响的累加。

参考自卷积的物理意义 - 知乎

2、自相关与互相关

1）定义

自相关 $f(t)\bigotimes f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau )f(t+\tau )d \tau$

互相关 $f(t)\bigotimes g(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau )g(t+\tau )d \tau$

通过上式可发现，自相关和互相关的定义很相似。

自相关描述了一个信号在不同时刻相似程度的量度。比如，当 t 为0时，两个信号一模一样，此时值最大。它可以用来发现信号中的重复模式，如被噪声掩盖的周期信号。自相关函数的极大值能够很好地体现信号中的周期性分量。

互相关描述了两个信号之间的相似性。当一个信号经过某个系统后，比如声音在空气中传播，通过互相关可以找到信号从发出到达观测点的传播时长。互相关的结果是一个关于延迟的函数，当某个信号延迟到一个特定值时，互相关出现了一个最大值，说明这个时候两个信号形状最接近。

2）在地质勘探中的应用

自相关（Auto-correlation）：
- 地震信号处理：自相关用于分析地震信号中的重复性和周期性。通过计算信号与其自身在不同时间延迟下的相关性，可以找到信号中的重复模式或周期性特征。在地震勘探中，这有助于确定地下不同岩层的反射或折射，以及地下构造的特征。
- 地震数据处理：自相关也可用于处理地震数据，例如对地震记录进行预测和去噪。通过分析地震记录的自相关函数，可以识别出信号中的重要特征，并进一步优化数据处理和解释地下结构。而由于噪声每一时刻都不同，自相关后噪声就趋近于0了，也实现了去噪功能，相当于低通滤波器。
互相关（Cross-correlation）：
- 信号匹配：在地震勘探中，互相关被用于匹配不同地震记录之间的相似性，这对于确定地下层的界面和边界非常有用。通过对不同地震记录之间进行互相关分析，可以找到它们之间的相对时间延迟，帮助识别出地下结构中的地层界面和地质特征。
- 地震监测：在监测地震活动时，互相关也可以用于识别不同地震事件之间的关系和时序特征。通过分析地震波形之间的互相关，可以确定地震事件的相对发生时间和位置。