目标函数与损失函数的区别

转自https://blog.csdn.net/u011500062/article/details/55522609

损失函数度量的是预测值与真实值之间的差异。损失函数通常写作 $L(\hat{y},y)$ , $\hat{y}$ 代表预测值，代表真实值。例如square loss定义为 $L(\hat{y},y)=(\hat{y}-y)^2$ ，square loss定义为 $L(\hat{y}-y)=max \left \{ 0,1-\hat{y}y \right \}$ 。
目标函数就是一个更加宽泛的概念。目标函数是优化问题中的一个概念。任何一个优化问题包括两个部分：(1)目标函数，最终是要最大化或者最小化这个函数；(2)约束条件。约束条件是可选的，比如x<0。
为了更生动形象的理解两者的区别，Prasoon Goyal举了三个例子。

即使损失函数又是目标函数
最小二乘拟：给定一组的样本点{(x1,y1),...,(xn,yn)}，我们要求一条直线去拟合这些样本点。假设求出模型形式为。接着我们要最小化下面这个方程：
$argmax_\beta\left \{ \sum_{i=0}^n(\beta^Tx_i-y_i)^2 \right \}$

上面的这个式子即使损失函数又是目标函数。所以在这个时候，损失函数和目标函数是同一个概念。
- 是目标函数但大于损失函数
  脊回归（Ridge regression）：类似于最小二乘拟合，不过脊回归假设参数足够简单。此时需要对ββ做正则化处理。需要优化的函数就变成：
  $argmax_\beta\left \{ \sum_{i=0}^n(\beta^Tx_i-y_i)^2+\lambda \beta ^T\beta \right \}$
  
  上式可以称作是目标函数，但却不是损失函数。损失函数仅是这个函数的一部分。
- 是目标函数但没有损失函数
  极大似然估计：假设我们有一枚硬币，正面的概率是，方面的概率是。将这枚硬币抛了100次后，观察发现有42次正面向上，58次反面向上，求值？42次正面向上，58次反面向上的概率为 $p^{42}(1-p)^{58}$ 。用极大似然发求pp则要优化下面的函数：
  $argmax_pp^{42}(1-p)^{58}$
  
  在这个例子是仅有目标函数，不存在损失函数。

目标函数与损失函数的区别

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