互相关函数（Cross-Correlation Function）

公式定义

1. 离散信号

• 对于两个离散信号 $x[n]$ 和 $y[n]$，它们的互相关函数 $R_{xy}[m]$ 定义如下：
• $m$ 为整数，表示延迟（lag）量。可以是正数（x 滞后于 y）、负数（x 超前于 y）或零（两者对齐）。
• $R_{xy}[m]$ 表示在延迟 $m$ 时，信号 $x$ 和 $y$ 的相似程度。其幅值受信号幅值影响，因此一般用其归一化形式。
  $$R_{xy}[m]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot y[n+m]$$

2. 连续信号

• 对于两个连续信号 $x(t)$ 和 $y(t)$，它们的互相关函数 $R_{xy}(\tau )$ 定义如下：
  $$R_{xy}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\cdot y(t+\tau )dt$$

3. 归一化互相关函数

为了消除信号幅度的影响，常使用归一化互相关函数（Normalized Cross-Correlation），其公式如下：归一化后的互相关函数 $R_{xy}(\tau )$ 的取值范围在 $[-1,1]$ 之间，值越接近 1 表示两个信号在对应延迟下越相似。
$$R_{xy}(\tau )=\frac{{\sum }_{n}x[n]\cdot y[n+\tau ]}{\sqrt{{\sum }_{n}x[n{]}^2\cdot {\sum }_{n}y[n{]}^2}}$$

代码及实验

• 在信号处理中，互相关法是一种重要的分析手段。互相关函数主要用于衡量两个信号在时间上的相似性。它通过滑动一个信号相对于另一个信号，并计算重叠部分的相似程度，来识别信号之间的时间对齐关系。
• 如下两个离散信号 $x[n]$ 和 $y[n]$，其互相关函数图如下：
  
• 从时域图可以看出，两个信号长得比较像，但怎么表达两个函数长得像呢？ 我们直观可以感觉到，信号$y[n]$要比 $x[n]$延迟一些，幅值小一些，但二者形状上是比较像的。
• 通过作互相关，我们可以计算出二者在不同时间差异下的相似程度，则相似程度最大处的横坐标，即代表了二者信号的相位差。
• 我们首先对信号进行取样，取样长度$N=1000$，互相关函数幅值最大处$\tau =961$，因此$961-(1000-1)=-38$，即信号$x[n]$要比 $y[n]$超前38个采样点的时间。
• matlab实验代码如下：

  % MATLAB代码演示互相关的意义
  close all;
  clear all;
  % 参数设置
  Fs = 1000;           % 采样频率 (Hz)
  t = 0:1/Fs:1-1/Fs;   % 时间向量 (1秒)
  f = 5;               % 信号频率 (Hz)
  delay = 40;          % y(n)相对于x(n)的延迟样本数
  similarity = 0.8;    % 相似程度系数 (0到1之间)
  % 生成信号x(n)
  x = sin(2*pi*f*t);
  % 生成信号y(n)，通过相似程度系数调整，并添加延迟
  y = similarity * sin(2*pi*f*(t - delay/Fs));
  % 绘制x(n)和y(n)的时域图
  figure('Name','互相关函数演示','Position',[400,400,1200,800]);
  subplot(2,1,1);
  plot(t, x, 'b', 'LineWidth', 1.5);
  hold on;
  plot(t, y, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
  title('信号x(n)和y(n)的时域图');
  xlabel('时间 (s)');
  ylabel('幅度');
  legend('x(n)', 'y(n)');
  grid on;
  % 计算互相关函数，使用 'biased' 选项
  N = length(x);
  R_xy = xcorr(x, y, 'biased');  % 使用有偏互相关
  % 找到互相关函数的最大值及其对应的位置
  [max_corr, max_idx] = max(R_xy);
  lag_max = max_idx - (N - 1);
  % 绘制互相关函数
  subplot(2,1,2);
  stem(0:length(R_xy)-1, R_xy, 'k', 'LineWidth', 1.5);
  title(['互相关函数 R_{xy}(\tau)  (最大值 = ', num2str(max_corr), ')']);
  xlabel('延迟 \tau (样本)');
  ylabel('互相关幅度');
  grid on;
  % 标记最大值位置
  hold on;
  plot(lag_max, max_corr, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');
  text(lag_max, max_corr, ['(\tau = ', num2str(lag_max), ')'], 'Color', 'r', 'VerticalAlignment', 'bottom');
  hold off;
  % 显示延迟信息
  fprintf('信号y(n)相对于x(n)的延迟为 %d 个样本。\n', lag_max);
  

• 实验结果如下：其中没有归一化，因此纵坐标表示的相似程度会受信号幅值影响。
  
• 归一化一般采用能量归一化，使用如下代码：

  % 计算互相关函数，使用 'biased' 选项
  N = length(x);
  R_xy_norm = xcorr(x, y, 'coeff');
  

• 归一化之后的结果如下图：