参考书目:朗读《量子力学非相对论理论》 《费曼物理学讲义》
（其实只是复制粘贴自己写的（或抄书的）东西玩玩,顺便试试知乎的公式编译器怎么用~~ps文中可能有些错误，请小心）
19.3.11更新 回头看了看，发现基本就是在抄书。。。还有部分内容有点老旧？（算是知识还没被自己内化、理解还很拿衣服时候的产物吧）没什么必要看。（逃）
- 基础概念
对黑体辐射、光电效应的研究让我们得出光具有粒子性的结论，一个光子的能量、动量由
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决定，其中
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为频率，k为波数，满足
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，
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、
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为普朗克常数，
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。我们将此结论推广到其他粒子上，认为粒子都具有波粒二象性，可以用“物质波”描述，且有德布罗意关系：
对电子、中子、质子、原子乃至分子的研究表明它们确实有波动性且满足该关系。量子力学对“物质波”的解释是一种“概率波”。
经典力学到波动力学：
在经典力学中，空间里质点的作用量
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的面随时间传播，而由德布罗意关系
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，发现
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，故可以猜想“物质波”的形式类似于
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，称之为准经典波函数。
基本假设：一个系统的状态可用波函数
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完全描述。
测量：一般用所谓“经典客体”---“仪器”---与量子客体的相互作用来描述量子客体。其他系统与量子系统的相互作用,可被理解为“测量”。
物理量：若在测量中，可肯定地得到状态的某些定量标志，则这些定量标志称为“物理量”。总认为物理量是实数。
完全集合：若一组物理量可以同时测得，且它们同时取定值时再无其他物理量可为定值，则称这组物理量为一个完全集合。
完全描述：对物理量的一个完全集合同时测量的结果产生的态，是被完全描述的态，与完全测量前的历史无关。
叠加原理：设
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、...为在测量中分别能产生确定的结果的态的波函数。若
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(它被称为叠加态),则对波函数
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的测量既可能得出对
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的测量结果，也可能得出对
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等等的测量结果。一旦测量,则态的结果被唯一确定为其中一个,态不再是叠加态。
必须知道的是，量子力学中往往要使用概率进行描述，一些物理量如位置、动量没有精确值，而且在某一些物理量有准确值时，其他一些物理量是不确定的。
2.态矢
对一个任意的波函数
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，把它对应的态记为
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，称为态矢(人为规定箭头向右，为右矢；向左的为左矢)。若对
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的测量结果总为
互不相同且有确定的测量结果的
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中的某一个，则由叠加原理，认为
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(此处先假设
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有可数个)，而测量的结果为某一个
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的概率应由其系数
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决定。考虑到概率为非负的，总和为1，并应当与相应系数的模正相关，不妨揣想P(测量的结果是
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)=
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，且
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。记
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规定符号
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表示
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经测量后得到
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的“振幅”，常为复数，其模平方等于
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经测量后得到
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的概率。在这种记号下，有
测量往往会导致观测后量子态变得确定,其之前的态则往往不复存在。
注意到各个
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对应的态
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各不相同，且可以在测量中完全分辨开来，一个态一旦被确定为其中之一就不再可能是另外的态，从而有重要关系
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是正交归一的。
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是
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构成的空间的一组标准正交基。
对于前面的式子，我们可以略去
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,简记为
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这意味着
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可以理解为对
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观测,得出其结果与观测
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有相同结果的“振幅”。
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实际上可以看作是
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通过变成态
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再成为
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的振幅，其总和为
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显然是合理的。
由
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的意义知它为双线性的。考虑到
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(
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的测量结果必为某个
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),而
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，故
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。又因记号的双线性，以及态的展开，可得
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可简记为
对于k不是分立的整数，而是连续的实数的情形，
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平方被理解为
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经测量后得到
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的概率密度，有
前面的结论易推广到这种情形。
态矢的行为和矢量有许多相似。
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构成一个线性空间，
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类似于矢量内积，将
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分解为
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的线性组合类似于将矢量分解其标准正交基的线性组合。实际上，我们将看到态矢构成了一个希尔伯特空间。
算符、矩阵
将态
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通过一个“过程”A达到态
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的“振幅”记为
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。则
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，记
称
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为算符(不同于后面使用的算符，因其作用对象不同)，是一个线性变换。
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被称为
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的矩阵，记为
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。有
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，为厄米特矩阵。它表示j态在过程A(看作是测量)中表现如同i态的概率“振幅”。若
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对应于某个物理量A，我们记
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，称为A的平均值，记为
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，原因见后。对于基
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。
3.波函数
考虑
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(其中q为广义空间坐标，表示位置为
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的态)，这表示处于态
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的粒子在空间范围(q，q+dq)被发现的概率密度的“振幅”，且有
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，等于“观测”中得到粒子的位置为q的概率密度。该式在全空间上的积分等于1。实际上
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正是以位置为表象的波函数
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。q可以被动量p、能量E等等替代。一般的，对物理量f，有f表象下的波函数
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，其模平方为“观测”得到该物理量为f的概率或概率密度。
下面用波函数的方法描述粒子的态。为了方便，不妨选用
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。它满足
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，积分范围是全空间。
这并不恒成立，对连续谱，一般无法这样归一化
首先，应当明确的是，一个态在空间不同处给出的f一般是不同的，不同一次的测量得到的f也往往不同，我们重视的是其平均值
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。若仅讨论一个物理量f，并假设对每一个
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，即
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都是确定且不同的,简记为
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。对于
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，对f观测结果为某个
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的概率正为观测结果为对应的
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的概率
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(可以认为
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是f表象下的波函数)，对
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的f观测结果的平均值
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。在这里f取分立的值，因k为分立的整数，此时称f有
离散谱；对于f取连续值的情形,k也必须连续，称f有
连续谱。连续谱的情形下，上式应写作
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为f在
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取值的概率密度。
上面已指出
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是f表象下的波函数，为
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。由k与f的对应关系，不妨将指标都改为f。使用前面对算符的定义，有
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确实为f的平均值。
上面的算符作用的对象是态矢，现在寻找与其对应的作用于波函数的线性算符
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。由于
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，我们自然希望
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。如定义算符
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还满足
(积分范围是全空间)则
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。这是合理的。如果将
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代入，得
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，与前面对矩阵的定义比较，不难发现
正是矩阵。特别的，
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。对连续谱也有相应的结论。
最终结论:知乎的公式编译是个shi啊啊啊喷血