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离散数学-集合:1.集合的基本概念

1、集合的概念
  1. 我把往往会把一些具有某些相同属性事物归为一个整体,而一个整体就是一个集合(也称为全集)
    例如:

    • 身高180以上的同学的集合
    • x^2 - 1 = 0的实数解的集合
    • 26个英文字母的集合
  2. 通常使用大写字母来标记集合,例如身高高于190的同学的集合T,黑色的猫的集合B。
  3. 组成集合的事物称为集合的元素,例如有穿白衣服的同学的集合W,那么每一个穿白衣服的同学都为W集合的一个元素。
2、集合的表示
  1. 表示一个集合时通常使用列元素发和谓词表示法

    • 列元素法,将集合中的每一元素都列出来:如A = {a, b, c},Z = {1, 2, 3}
    • 谓词表示法,用谓词来概括集合中的属性:B = {x|x∈R∧x^2-1=0}
  2. 集合中的元素都是不相同的,同一个元素多次出现视为一个元素,例如{1, 2, 3, 3, 3} = {1, 2, 3}
  3. 集合中的元素是无序的,例如{1,2,3,4} = {2,4,3,1}
3、集合之间的关系
  1. 隶属关系:元素和和集合之间的关系就是隶属关系,即元素属于或不属于集合,属于记为∈,不是于记为∉

    例如:一只黑色的猫∈黑猫,一只白色的猫∉黑猫

    但A∉A,毕竟我们不说黑色的猫是黑色的猫的一部分

  2. 包含关系:A和B为两个集合,如果B中的元素A中也都有,那么我们就称A包含B,称B为A的子集,记为B⊆A。显然对于任何集合A都有A⊆A
  3. 等于关系:如果A⊆B且B⊆A,那么A就等于B,记为A=B
  4. 真子集关系:如果A⊆B且B≠A,那么B就是A的真子集,记为B⊂A
3、空集
  1. 不包含任何元素的集合称为空集,记为∅
  2. 空集是所有元素的子集∅⊆A
4、子集
  1. 含有n个元素的集合称为n元集,他含有m个元素的子集就称为m元子集
    例如:A = {1,2,3},那么A集合的所有子集如下:

    • 0元子集:∅
    • 1元子集:{1},{2},{3}
    • 2元子集:{1,2},{1,3},{2,3}
    • 3元子集:{1,2,3}
  2. 一个集合含有2^n个子集,把一个集合全体子集称为结合的幂集,记为P(A)
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