§1. 二分法
一、二分法的具体计算过程
第一步,取区间中点(a+b)/2,计算区间中点的函数值f((a+b)/2),
③ 如果,则在区间上,f(x)在两个端点的函数值异号,于是原方程在区间内有根,记,下一步在区间内继续进行。
第二步, 求f(x)在区间[a1,b1]的中点的函数值,并检验其正负号,
①如果, 则原方程在区间内有根,并记;
② 如果,则在区间上,原方程有根,记。
于是,我们得到,其区间宽度为:
象这样,继续进行第三步、第四步、...... , 区间宽度每次缩小一半,得到一个区间序列:此时,f(an). f(bn)<0,即原方程在区间[an,bn]内有根,区间宽度为:
当n足够大时,如果此时的区间宽度已达到精度要求,则以区间的中点作为x*的近似值,即;
此时,近似值的误差小于该区间宽度的一半,即。如果精度要求,则要求
两边取自然对数,得: ln(b-a)-(n+1)ln2≤lnε则 注意到 , ,有
如精度要求提高,则上式的关键项ln(1/ε), 由于210=1024,如要求误差缩小0.1000,则要求多计算10次。
二、计算流程
根据精度要求可以事先计算出需执行步骤数n。
初态:。 对于n=1,2,...n做 计算 如果,输出 如果,则 否则 输出
Y
Y
X
a
b
b1=(a+b)/2
b2=(a+b1)/2
b3=(a+b2)/2
a1=(a+b2)/2
x*
其几何意义如图:
例: 求方程x3-2x-5=0的近似解,精确到0.001。
解: f(x)= x3-2x-5, ε=0.001,因为f(2)=-1<0,f(3)=16>0,故
方程在区间[2,3]上有根。又 ,取n=9,将计算结果列表如下:
所以x*≈x9=2.0947265,而精确值为 2.0945515...,误差为0
三、二分法的特点
二分法的优点是计算简便,对函数f(x)的要求不高,只要求连续即可,且误差估计容易。二分法的缺点是收敛速度很慢,每计算一步,误差减小一半。§2.迭代法
一.简单迭代法
设方程在区间上有唯一的实根,将方程变形为与其同解方程:
要求函数在区间上满足:
则可以在区间上任取一点作为迭代法的初始值,建立迭代关系(递推关系式):
,
从而得到一个数列,如果当时,这个数列收敛到,即,则,
则满足方程,由于方程和是同解方程,所以满足方程。在实际计算中,取足够大,则有,我们把作为原方程的近似解。
计算流程:
选取初值
对
做
如果,跳出循环
否则,置,继续循环
输出
例1:用迭代法求方程的根,精确到0.001。
解:设,,,在区间内有根。
将方程变形为,这儿,
,在内,所以迭代是收敛的。
取,则
，
,迭代结束。
。
几何意义:
p2p
p2
p3
p1
p1
p0
p0
xx3x*x1
x
x3
x*
x1
x0
x2
y
y
取作y轴平行线,交于,作x轴下平行线交于,即;再作y轴平行线交于,再作y轴的平行线交于
,即;再作y轴的平行线交于,…,一直下去。越来越接近于,就是与的交点的x坐标,即。
y
y
x
x
yx
y
x
二.收敛定理:
定理1:在迭代方程中设满足:
(1)当时,;(即在内有界。)
(2)存在正数,使得对任意,有,则
(1)方程在内有唯一解,且(2)对任意初值,迭代格式得到的数列,收敛到方程的解,且满足误差估计。
证明:
(1)存在性:
因,,
由连续函数的性质,存在,
使。
唯一性:设,均是方程的根则
,
又,,只有,。
(2)迭代的收敛性:
因,
反复用此式
,即，
迭代收敛。
误差估计:
，而
同理
从而得:
要使,只要,两边取对数
,即
说明:
(1)要求,不能放松为;
(2)一个方程变形为有许多形式可以变换,有的可能不收敛,有的可能收敛,且的越小,收敛的越快。
例如:解方程。
如构造,,,
在有限区间为(2,3),;
如取,则
是发散数列。
如取,则
如构造,
,是收敛的。
取,
精度已达小数点第四位。精度已达小数点第五位,收敛速度很快,因很小,故收敛很快。
如将变形为:
在有根区间内,因而也是不收敛的。
取,
是不收敛的。
三、加速收敛(Aitken方法)
设是的某个预测值,适用一次迭代得到校正值,用微分中值定理,如果变化不大,记其近似值为则:
,解得:
利用上式总认为上式比更接近于。
,在的基础上再调整一个量,使其更接近,称此为改进值,如每步均如此计算,则得公式校正值:;
改进值:。