引言

大语言模型（LLMs）的出现推动了文本生成、少样本学习、推理和蛋白质序列建模等领域的进步。这些模型的规模通常达到数千亿个参数，使得高效的推理算法变得至关重要。本文研究了LLM参数的训练后量化，提出了一种新的量化方法——不合处理量化（QuIP），并展示了其在大语言模型中的应用。

研究背景

训练后量化

训练后量化（Post-Training Quantization，PTQ）是一种通过在训练完成后对模型参数进行量化，从而提高模型运行效率的方法。现有的PTQ方法主要通过减少权重或激活值的范围来简化量化过程，但这些方法在处理大规模语言模型时往往需要进一步的再训练，成本较高。

现有方法

一些现有的方法如SmoothQuant、ZeroQuant和LLM.int8()等，通过不同的技术手段来减小量化的难度。例如，SmoothQuant通过在激活值和权重之间进行重新缩放来去除激活值中的异常值，从而简化量化过程。OPTQ（即GPTQ）提出了一种新的舍入方法，能够在最大的OPT和BLOOM模型上工作。

QuIP方法

不合处理量化

QuIP是一种基于不合性（incoherence）处理的量化方法，主要包括两个步骤：

1. 自适应舍入：通过最小化一个二次代理目标来进行舍入。
2. 高效的预处理和后处理：通过乘以随机正交矩阵的Kronecker积来确保权重和Hessian矩阵的不合性。

自适应舍入

自适应舍入步骤通过最小化以下代理目标来进行：

$$\ell (\hat{W})=\mathrm{tr}\left((\hat{W}-W)H(\hat{W}-W{)}^T\right)$$

其中，$W$是原始权重矩阵，$\hat{W}$是量化后的权重矩阵，$H$是这些向量的二阶矩阵，作为Hessian的代理。这个公式使得量化可以在神经元之间并行运行，对于大规模语言模型是可行的。

LDLQ方法

LDLQ方法是一种优化的自适应舍入方法，通过以下方式定义：

$${\hat{W}}_k=Q(W_k+(W_{1:(k-1)}-{\hat{W}}_{1:(k-1)})a_k)$$

其中，$W_k$表示第$k$列，$Q$表示最近舍入或标准无偏舍入，$a_k$是一些向量序列。最终的$\hat{W}$满足以下矩阵方程：

$$\hat{W}=Q(W+(W-\hat{W})U)$$

其中，$U$是一个严格的上三角矩阵，其列是向量$a_k$。通过选择合适的$U$，可以使得代理目标达到最小值。

理论分析

最优性证明

通过理论分析，LDLQ在最差和平均情况下都是最优的。对于所有正半定的$H$，以及Q作为最近舍入或随机舍入，LDLQ的最差和平均代理损失都小于其他舍入方法：

$$\mathrm{tr}(D)=L_{\text{worst}}(\text{LDLQ},H)\le L_{\text{worst}}(A,H)$$

$$m\mathrm{tr}(D)=L_{\text{avg}}(\text{LDLQ},H)\le L_{\text{avg}}(A,H)$$

其中，$D$是$H$的LDL分解中的对角矩阵。

不合处理的作用

不合处理的作用在于通过乘以随机正交矩阵的Kronecker积来确保权重和Hessian矩阵的不合性，从而减少舍入误差。这种处理可以看作是一种形式的异常值抑制，跨越权重和激活空间。

实验结果

通过实验证明，不合处理显著提高了大模型的量化效果，特别是在较高压缩率下。对于大规模LLM（>2B参数），我们观察到2位和4位压缩之间的差距很小，并且随着模型规模的增加而进一步减少，提示了2位推理在LLM中的可行性。

结论

本文提出了一种基于不合处理的量化方法QuIP，通过自适应舍入和高效的预处理与后处理步骤，实现了大语言模型的两位量化。理论分析表明，QuIP在最差和平均情况下都是最优的。实验结果显示，QuIP能够在高压缩率下显著提高量化效果，首次实现了仅使用每权重两位的LLM量化方法。

参考文献

1. Chee, J., Cai, Y., Kuleshov, V., & De Sa, C. (2023). QuIP: 2-Bit Quantization of Large Language Models With Guarantees. Retrieved from https://arxiv.org/pdf/2307.13304

2. Nagel, M., et al. (2020). Adaptive Rounding for Post-Training Quantization.

3. Zhang, H., et al. (2021). SmoothQuant: Removing Outliers by Rescaling Activations and Weights.

4. Lin, Y., et al. (2021). ZeroQuant: Efficient Post-Training Quantization for Large-Scale Transformers.

5. Dettmers, T., et al. (2021). LLM.int8(): 8-bit Matrix Multiplications for Large Language Models.

6. Frantar, E., et al. (2021). OPTQ: Quantization for Optimal Performance of Large Language Models.

二阶矩阵，也称为Hessian矩阵，是在优化问题和多元微积分中非常重要的一个概念。它描述了一个多变量函数在某一点的二阶导数信息，用于分析该点的曲率特性。具体来说，给定一个实值函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，其Hessian矩阵是由该函数的所有二阶偏导数组成的方阵，定义如下：

$$H(f)=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}\end{array}\right]$$

Hessian矩阵的作用

Hessian矩阵在优化中有几个重要作用：

1. 局部曲率分析：Hessian矩阵提供了函数在某一点的局部曲率信息。通过分析Hessian矩阵的特征值，可以判断该点是局部最小值、局部最大值还是鞍点。
2. 二次近似：在优化算法中，Hessian矩阵用于构建目标函数的二次近似，从而帮助找到优化方向。例如，Newton法通过使用Hessian矩阵来迭代更新参数，以加速收敛。
3. 稳定性分析：Hessian矩阵的正定性与否可以用于判断优化过程的稳定性。在训练神经网络时，Hessian矩阵的特征值用于评估网络的学习动态。

在QuIP方法中的应用

在QuIP方法中，Hessian矩阵作为代理目标的一部分，用于指导自适应舍入过程。具体来说，QuIP方法通过最小化以下代理目标来进行舍入：

$$\ell (\hat{W})=\mathrm{tr}\left((\hat{W}-W)H(\hat{W}-W{)}^T\right)$$

其中，$W$是原始权重矩阵，$\hat{W}$是量化后的权重矩阵，$H$是这些向量的Hessian矩阵。这个公式的直观理解是，通过权重矩阵$W$和量化后的权重矩阵$\hat{W}$之间的差异，以及Hessian矩阵$H$，来构建一个二次代理目标，以引导量化过程中的舍入决策。

从公式的角度解析

从公式的角度来看，Hessian矩阵$H$在代理目标中的作用如下：

1. 权重差异的加权：$(\hat{W}-W)$表示量化后的权重和原始权重之间的差异。$H$对这些差异进行加权，使得某些方向上的误差更重要。这样一来，量化过程中可以优先考虑这些方向，减少关键方向上的误差。
2. 二次形式：$\mathrm{tr}\left((\hat{W}-W)H(\hat{W}-W{)}^T\right)$表示了一种二次形式，通过对权重差异进行平方和加权，构建了一个二次代理目标。这种二次形式在数学上具有良好的性质，有助于优化算法的收敛性和稳定性。

总结

Hessian矩阵在QuIP方法中起到了关键的作用，通过提供函数的二阶导数信息，帮助构建了一个有效的代理目标，从而指导自适应舍入过程，最终实现高效的量化。理解Hessian矩阵的定义和作用，对于深入理解QuIP方法和其他优化算法都有重要意义。

不合处理的作用解析

背景介绍

在机器学习和深度学习中，量化是一种通过将模型参数从高精度（如32位浮点数）减少到低精度（如8位或更低）以便减少模型大小和提高计算效率的技术。然而，直接进行量化可能会引入舍入误差，尤其是在模型参数分布不均匀时，这种误差可能会严重影响模型性能。

不合性（Incoherence）

不合性旨在使得矩阵的行或列之间在统计意义上独立或弱相关。具体来说，在量化过程中，如果权重矩阵和Hessian矩阵是不合的（incoherent），则这些矩阵的行或列的大小和方向是均匀分布的，这样可以减少舍入误差。

随机正交矩阵和Kronecker积

为了实现不合性处理，QuIP方法中采用了随机正交矩阵的Kronecker积。正交矩阵是指一个方阵，其行向量和列向量都是正交的，且模长为1。随机正交矩阵是通过随机生成的方式得到的正交矩阵。

Kronecker积是两个矩阵之间的操作，定义如下：

$$A\otimes B=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}B& a_{12}B& \cdots & a_{1n}B\\ a_{21}B& a_{22}B& \cdots & a_{2n}B\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& a_{m2}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right]$$

其中，$A$是一个$m\times n$的矩阵，$B$是一个$p\times q$的矩阵，$A\otimes B$则是一个$mp\times nq$的矩阵。

不合处理的具体步骤

不合处理通过以下步骤来实现权重和Hessian矩阵的不合性：

1. 生成随机正交矩阵：生成一个随机正交矩阵$Q$，这个矩阵可以通过对一个随机矩阵进行QR分解得到。
2. Kronecker积：计算随机正交矩阵$Q$的Kronecker积$Q\otimes Q$，得到一个新的矩阵$K$。
3. 矩阵乘法：将权重矩阵和Hessian矩阵分别与$K$相乘，得到新的不合矩阵$W^{\prime }$和$H^{\prime }$。

$$W^{\prime }=K\cdot W\cdot K^T$$

$$H^{\prime }=K\cdot H\cdot K^T$$

不合处理的作用

通过上述步骤，不合处理在以下几个方面发挥作用：

1. 减少舍入误差：由于随机正交矩阵的作用，权重和Hessian矩阵的各个方向上的信息被均匀分布，从而减少某些方向上的突出值（异常值）。这使得在量化过程中，舍入误差能够更均匀地分布，减少了总体误差。
2. 抑制异常值：异常值是指在数据中显著偏离其他值的点。在权重和激活空间中，异常值可能会导致量化过程中误差的累积。通过不合处理，这些异常值被有效抑制，使得量化后的模型具有更好的鲁棒性。
3. 提高量化效果：经过不合处理后的矩阵在统计意义上更加独立，减少了量化过程中相邻元素之间的相关性，从而提高了量化效果，使得模型在更低的位宽下仍能保持较高的性能。

实验验证

实验结果表明，通过不合处理，QuIP方法在高压缩率下显著提高了量化效果。例如，在大规模LLMs（>2B参数）上，2位和4位压缩之间的差距显著减小，提示了2位推理在LLMs中的可行性。

总结

不合处理通过乘以随机正交矩阵的Kronecker积来确保权重和Hessian矩阵的不合性，从而减少舍入误差。这种处理不仅抑制了异常值，还提高了量化效果，使得在低位宽下的模型性能得以保持。理解不合处理的具体步骤和作用，对于深入掌握QuIP方法以及其他量化技术具有重要意义。