【泛函分析】 3 赋范线性空间上的有界线性算子

1 有界线性算子

1.1 定义与性质

设X，Y是（统一数域 $\mathbb{K}$ 上）赋范线性空间， $D\sqsubset X$ 为X的线性子空间， $T:D\rightarrow Y$

线性算子（齐次可加）： $T(ax+by)=aTx+bTy,\, \forall x,y\in X,a,b\in \mathbb{K}$
有界算子：存在常数M，使得 $\left \| Tx \right \|\leq M\left \| x \right \|,\,\forall x\in D$

几个等价命题：

1.T一致连续；2.T连续；3.T在 $x=\theta$ 处连续；4.对任一有界集 $A\sqsubset X$ ， T(A) 是Y中的有界集；

5.T有界；6. $\exists k,\left \| Tx \right \|\leq k,\left \| x \right \|\leq 1$ 。

1.2 算子范数、算子空间

B(X,Y) 表示X到Y的一切有界线性算子的全体，对 $T_{1},T_{2}\in B(X,Y)$ ，定义

$(aT_{1}+bT_{2})(x)=aT_{1}x+bT_{2}x,\forall x\in X,a,b\in \mathbb{K}$

则 B(X,Y) 是线性空间。（共轭空间？）

算子范数： $\left \| T \right \|=sup\frac{\left \| Tx \right \|}{\left \| x \right \|}=sup \left\{ \left \| Tx \right \|,\left \| x \right \|\leq 1\right \}=sup\left \{ \left \| Tx \right \|,\left \| x \right \|=1 \right \}$

【如果Y是Banach空间，则B(X,Y)也是Banach空间。】

[1]

1.3 开映射、闭图像、共鸣定理

open-mapping：设X，Y是Banach空间， $T:X\rightarrow Y$ 为有界线性算子，如果T（X）是Y中的第二纲集，则存在K>0，使得（满射）对于 $\forall y\in Y,\exists x\in X,$ 使得且有 $\left \| x \right \|\leq K\left \| Tx \right \|$ 【则对X中任一开集G，T（G）是Y中开集】
闭图像：设X，Y是Banach空间， $T:X\rightarrow Y$ 为闭算子，则T是有界的
共鸣（一致有界）：设X是Banach空间，Y是赋范线性空间， $T_{_{\alpha }}:X\rightarrow Y$ 为有界线性算子。如果对于 $\forall x\in X$ ，都有 $sup\left \| T_{\alpha }(x) \right \|<\infty$ ，则 $sup\left \| T_{\alpha }\right \|<\infty$ 。

[1]

2 延拓与Hahn-Banach定理

2.1 延拓

设E是线性空间， $f_{1},f_{2}$ 分别是定义在E的子空间 $G_{1},G_{2}$ 上的线性泛函，如果满足一下两个条件：

（1） $G_{1}\sqsubset G_{2}$

（2） $f_{1}(x)=f_{2}(x),\forall x\in G_{1}$

则称 $f_{2}$ 是 $f_{1}$ 在 $G_{2}$ 上的延拓。

2.2 HBT

实：设G为实线性空间E的子空间，f是定义在G上的实线性泛函，p是定义在E上的次可加正齐泛函。f与p满足： $f(x)\leq p(x),\forall x\in G$ ,则必存在定义在E上的实线性泛函 $f_{0}$ ，满足（1） $f_{0}(x)=f(x),\forall x\in G$ ;（2） $f_{0}(x)\leq p(x),\forall x\in E$
复：设G为复线性空间E的子空间，f是定义在G上的线性泛函，p是定义在E上的半范。f与p满足： $|f(x)|\leq p(x),\forall x\in G$ ,则必存在定义在E上的实线性泛函 $f_{0}$ ，满足（1） $f_{0}(x)=f(x),\forall x\in G$ ;（2） $|f_{0}(x)|\leq p(x),\forall x\in E$

2.3 保范延拓

定理：设E是 $B^{*}$ 空间，G是E的线性子空间，是G上的有界线性泛函，则必存在E上的有界线性泛函 $f_{0}$ ，满足：（1） $f_{_{0}}(x)=f(x),\forall x\in E$ ;（2） $\left \| f_{0} \right \|=\left \| f \right \|_{G}$
推论：设E是 $B^{*}$ 空间，G是E的线性子空间， $x_{0}\in E/G$ ，若 $dist(x_{0},G)=inf(x_{0},x)=\delta >0$ ，则存在E上的有界线性泛函f，使（1） $f(x)=0,\forall x \in G$ ；（2） $\left \| f \right \|=\frac{1}{\delta },f\left ( x_{0} \right )=1$
【证明思路】构造f满足以上条件，令 $f(\alpha x_{0}+x)=\alpha$ ， $\alpha x_{0}+x\in G_{_{1}}$ 显然其满足 $f(x)=0,\forall x \in G$ ，

$f\left(x_{0} \right )=1$ 。下证其满足

$\left \| f \right \|=\frac{1}{\delta }$ 。

（1） $\left \| \alpha x_{0}+x \right \|=\left | \alpha \right |\left \| x_{_{_{0}}}+\frac{x}{\alpha } \right \|\geq \left | \alpha \right |\delta$ ，即 $\left | f\left ( \alpha x_{0} \right )+x \right |=\left | \alpha \right |\leq \frac{1}{\delta }\left \| \alpha x_{_{0}}+x\right \|$ 。（ $\left \| f \right \|_{G_{1}}\leq \frac{1}{\delta }$ ）

（2） $\left \| f \right \|_{G_{1}}\left \| x_{0}-x_{n} \right \|\geq \left | f(x_{0})-f(x_{n}) \right |=\left | f(x_{0}) \right |=1$ 。（ $\left \| f \right \|_{G_{1}}\geq \frac{1}{\delta }$ ）